Парниковый эффект

Все пункты B сводятся к балансу мощностей для Земли и для атмосферы по отдельности. Альбедо удобнее находить как сумму геометрической прогрессии по числу отражений между Землёй и атмосферой.

A-1. Вся энергия, излучаемая поверхностью Солнца, попадает на сферу радиуса \(d\), поэтому \(\sigma T_S^4 \cdot 4\pi R_S^2 = 4\pi d^2 \cdot S_0\), откуда \[S_0 = \sigma T_S^4\left(\frac{R_S}{d}\right)^2 = 5{,}67\times10^{-8}\cdot(5{,}77\times10^3)^4\cdot\left(\frac{6{,}96\times10^8}{1{,}5\times10^{11}}\right)^2 = 1{,}35\times10^3\ \text{Вт/м}^2.\]

A-2. Земля находится в тепловом равновесии, поэтому поглощаемая ею в единицу времени энергия равна излучаемой. Земля перехватывает солнечное излучение через сечение \(\pi R_E^2\), а излучает со всей поверхности \(4\pi R_E^2\): \(\pi R_E^2 S_0 = 4\pi R_E^2\sigma T_E^4\), откуда \[T_E = \left(\frac{S_0}{4\sigma}\right)^{1/4} = \sqrt{\frac{R_S}{2d}}\,T_S = 278\ \text{К}.\]

A-3. Максимум излучения достигается на длине волны, где производная \(u\) по \(\lambda\) равна нулю: \[\frac{du}{d\lambda} = \frac{2\pi hc^2}{\lambda^6}\cdot\frac{1}{\exp\!\left(\frac{hc}{\lambda k_BT}\right)-1}\cdot\left[-5+\frac{\frac{hc}{\lambda k_BT}\exp\!\left(\frac{hc}{\lambda k_BT}\right)}{\exp\!\left(\frac{hc}{\lambda k_BT}\right)-1}\right].\] Из условия \(\dfrac{du}{d\lambda}\Big|_{\lambda=\lambda_m}=0\) при \(x_m \equiv \dfrac{hc}{\lambda_m k_B T}\) получаем трансцендентное уравнение \[5\,(1-e^{-x_m}) - x_m = 0, \qquad f(x) = 5\,(1-e^{-x}) - x.\]

A-4. Первое приближение \(x_m^{(1)} = 5\). Подставляя повторно, получаем \(x_m^{(2)} = 5(1-e^{-5}) = 4{,}97\) и \(x_m^{(3)} = 5(1-e^{-4{,}97}) = 4{,}97\). Дальнейшие итерации не меняют \(x_m\) с точностью до трёх значащих цифр, поэтому \(x_m = 4{,}97\) и \[b = \frac{hc}{x_m k_B} = \frac{1240\ \text{эВ}\cdot\text{нм}}{4{,}97\cdot 8{,}62\times10^{-5}\ \text{эВ/К}} = 2{,}89\times10^6\ \text{нм}\cdot\text{К}.\]

A-5. По закону Вина с найденным \(b\): \[\lambda_{\max}^{\text{Sun}} = \frac{b}{T_S} = \frac{2{,}89\times10^6}{5{,}77\times10^3} = 5{,}01\text{--}5{,}02\times10^2\ \text{нм}, \qquad \lambda_{\max}^{\text{Earth}} = \frac{b}{T_E} = \frac{2{,}89\times10^6}{278} = 1{,}04\times10^4\ \text{нм}.\]

A-6. Из диаграммы видно, что \(\gamma\,\tilde u_S(\lambda_{\max}^{\text{Sun}}) = u(\lambda_{\max}^{\text{Earth}}, T_E)\). Поскольку \[\tilde u_S(\lambda_{\max}^{\text{Sun}}) = \left(\frac{R_S}{d}\right)^2\frac{2\pi hc^2}{(\lambda_{\max}^{\text{Sun}})^5}\cdot\frac{1}{\exp\!\left(\frac{hc}{k_B b}\right)-1}, \qquad u(\lambda_{\max}^{\text{Earth}}, T_E) = \frac{2\pi hc^2}{(\lambda_{\max}^{\text{Earth}})^5}\cdot\frac{1}{\exp\!\left(\frac{hc}{k_B b}\right)-1},\] деление дает \[\gamma = \left(\frac{d}{R_S}\right)^2\left(\frac{T_E}{T_S}\right)^5 = \left(\frac{d}{R_S}\right)^2\left(\frac{\lambda_{\max}^{\text{Sun}}}{\lambda_{\max}^{\text{Earth}}}\right)^5 = 1{,}20\text{--}1{,}21\times10^{-2}.\]

B-1. Земля и её атмосфера находятся в тепловом равновесии, поэтому входящая и выходящая мощности совпадают. Для Земли \[(\pi R_E^2)(1-r_A)S_0 + (4\pi R_E^2)\sigma T_A^4 = (4\pi R_E^2)\sigma T_E^4,\] для атмосферы \[(4\pi R_E^2)\sigma T_E^4 = 2(4\pi R_E^2)\sigma T_A^4.\] Коэффициент 2 обусловлен тем, что атмосфера излучает тепло в обе стороны — вверх и вниз. Исключая \(T_E\), получаем \[T_A = \left(\frac{(1-r_A)S_0}{4\sigma}\right)^{1/4} = 2{,}58\times10^2\ \text{К}, \qquad T_E = \left(2T_A^4\right)^{1/4} = \left(\frac{(1-r_A)S_0}{2\sigma}\right)^{1/4} = 3{,}07\times10^2\ \text{К}.\]

B-2. Как видно на рисунке 2, доля \((1-r_A)\) солнечного излучения достигает поверхности Земли, пройдя через атмосферу. Доля \(r_E\) этого света отражается обратно к атмосфере, где доля \(r_A\) отражается и возвращается к поверхности Земли. Процесс повторяется бесконечно, и сумма мощностей, переданных в космос на всех этих шагах, определяет альбедо. Обозначим мощность, возвращённую в космос после \(n\) отражений, через \(\tilde S_n\). Тогда \(\tilde S_0 = r_A S_0\), а оставшаяся мощность \((1-r_A)S_0\) достигает поверхности Земли. От неё отражается \((1-r_A)r_E S_0\), и доля \((1-r_A)\) этой мощности проходит через атмосферу в космос, поэтому \(\tilde S_1 = (1-r_A)^2 r_E S_0\). Для последующих отражений \(\tilde S_n = (r_A r_E)^{n-1}\tilde S_1\). Суммируя, \[\tilde S = \sum_{n=0}^{\infty}\tilde S_n = \tilde S_0 + \tilde S_1\sum_{n=1}^{\infty}(r_A r_E)^{n-1} = \left[r_A + \frac{(1-r_A)^2 r_E}{1-r_A r_E}\right]S_0,\] откуда \[\alpha = \frac{\tilde S}{S_0} = r_A + \frac{(1-r_A)^2 r_E}{1-r_A r_E} = 3{,}13\times10^{-1}.\]

B-3. Снова тепловое равновесие требует равенства входящей и выходящей мощностей для Земли и атмосферы; отличие в том, что Земля теперь поглощает долю \((1-\alpha)\) солнечного излучения. Для Земли \[(4\pi R_E^2)\,\varepsilon\sigma T_A^4 + (\pi R_E^2)(1-\alpha)S_0 = (4\pi R_E^2)\sigma T_E^4,\] для атмосферы \[(4\pi R_E^2)\,\varepsilon\sigma T_E^4 = 2(4\pi R_E^2)\,\varepsilon\sigma T_A^4.\] Отсюда \[T_E = \left[\frac{(1-\alpha)S_0}{2\sigma(2-\varepsilon)}\right]^{1/4}, \qquad T_A = \left(\frac{T_E^4}{2}\right)^{1/4},\] и \[\varepsilon = \frac{\sigma T_E^4 - (1-\alpha)S_0/4}{\sigma T_A^4} = \frac{2\left[\sigma T_E^4 - (1-\alpha)S_0/4\right]}{\sigma T_E^4} = 8{,}07\text{--}8{,}11\times10^{-1}.\]

B-4. \[\frac{dT_E}{d\varepsilon} = \frac{1}{4}\left[\frac{(1-\alpha)S_0}{2\sigma(2-\varepsilon)}\right]^{1/4}\frac{1}{2-\varepsilon}.\] При \(\delta\varepsilon = 0{,}01\,\varepsilon\): \[\delta T_E = \frac{dT_E}{d\varepsilon}\,\varepsilon\cdot 0{,}01 = 4{,}87\text{--}4{,}92\times10^{-1}\ \text{К}.\]

B-5. Уравнения теплового равновесия похожи на B-3, но к ним добавляется нерадиационный тепловой поток. Для Земли \[(\pi R_E^2)(1-\alpha)S_0 + (4\pi R_E^2)\,\varepsilon\sigma T_A^4 = (4\pi R_E^2)\sigma T_E^4 + (4\pi R_E^2)\,k(T_E-T_A),\] для атмосферы \[(4\pi R_E^2)\,\varepsilon\sigma T_E^4 + (4\pi R_E^2)\,k(T_E-T_A) = 2(4\pi R_E^2)\,\varepsilon\sigma T_A^4.\] После вычислений \[\varepsilon = \frac{\sigma T_E^4 - (1-\alpha)\frac{S_0}{4}}{\sigma(T_E^4 - T_A^4)} = 8{,}47\text{--}8{,}52\times10^{-1},\] \[k = \frac{\varepsilon\sigma(2T_A^4 - T_E^4)}{T_E - T_A} = \frac{(2T_A^4 - T_E^4)\left[\sigma T_E^4 - (1-\alpha)\frac{S_0}{4}\right]}{(T_E^4 - T_A^4)(T_E - T_A)} = 3{,}57\text{--}3{,}66\times10^{-1}\ \text{Вт/(м}^2\cdot\text{К)}.\]

B-6. а) Логарифмируем соотношения из B-5: \[\ln\varepsilon = \ln\!\left[\sigma T_E^4 - (1-\alpha)\frac{S_0}{4}\right] - \ln\sigma - \ln(T_E^4 - T_A^4),\] \[\ln k = \ln\varepsilon + \ln\sigma + \ln(2T_A^4 - T_E^4) - \ln(T_E - T_A),\] и дифференцируем по \(\varepsilon\). Получаем систему двух линейных уравнений: \[\varepsilon\left[\frac{1}{T_E-T_A} + \frac{4T_E^3}{2T_A^4-T_E^4}\right]\frac{dT_E}{d\varepsilon} = 1 + \varepsilon\left[\frac{8T_A^3}{2T_A^4-T_E^4} + \frac{1}{T_E-T_A}\right]\frac{dT_A}{d\varepsilon},\] \[1 + \varepsilon\left[\frac{4T_E^3}{T_E^4-T_A^4} - \frac{4\sigma T_E^3}{\sigma T_E^4-(1-\alpha)\frac{S_0}{4}}\right]\frac{dT_E}{d\varepsilon} = \frac{4T_A^3}{T_E^4-T_A^4}\,\varepsilon\,\frac{dT_A}{d\varepsilon}.\] б) Решая систему и подставляя \(\varepsilon\) из B-5, \[\delta T_E = \varepsilon\,\frac{dT_E}{d\varepsilon}\cdot 0{,}01 = 5{,}21\text{--}5{,}28\times10^{-1}\ \text{К}.\]