Чёрная вдова-пульсар

Для A-1 запишите потенциал двух масс в системе центра масс и добавьте центробежный член. Для B-2 используйте условие равновесия слоя (сила тяжести уравновешена градиентом давления) и уравнение Пуассона в интегральной форме. В B-9 линеаризуйте уравнение вокруг равновесия.

A-1. Пусть \(a_1\) и \(a_2\) — расстояния \(M_1\) и \(M_2\) от центра масс: \[M_1a_1 = M_2a_2, \qquad a_1+a_2 = a \quad\Rightarrow\quad a_1 = \frac{M_2}{M}a, \qquad a_2 = \frac{M_1}{M}a, \qquad M = M_1+M_2.\] Во вращающейся системе координат к гравитационному потенциалу двух масс добавляется центробежный потенциал \(U = -\dfrac12\omega^2r^2\), где \(\omega = \sqrt{\dfrac{GM}{a^3}}\): \[\varphi(x,y) = -\frac{GM_1}{\sqrt{(x+a_1)^2+y^2}} - \frac{GM_2}{\sqrt{(x-a_2)^2+y^2}} - \frac12\,\frac{GM}{a^3}\,(x^2+y^2).\]

A-2. Положив \(y = 0\), получаем \[\varphi(x,0) = -\frac{GM_1}{|x+a_1|} - \frac{GM_2}{|x-a_2|} - \frac12\,\frac{GM}{a^3}\,x^2.\] Построение: функция имеет асимптоты при \(x = -a_1\) и \(x = a_2\) и стремится к \(-\infty\) по обе стороны от каждой асимптоты; у функции три максимума — точки Лагранжа; при \(x \to \pm\infty\) функция стремится к \(-\infty\). График приведён на рисунке ниже.

Рисунок к решению A-2 — качественный график \(\varphi(x,0)\) (на оси: \(\varphi\); \(-a_1\), \(a_2\) — асимптоты).

A-3. Пусть \(\bar x = x/a\), и обозначим лагранжеву точку между \(\bar x = 0\) и \(\bar x = 0{,}75\) через \(\bar x_0\); тогда \(\dfrac{d\varphi}{d\bar x}(\bar x_0) = 0\). Используя заданные отношения масс, \[\varphi(\bar x,0) = \frac{GM}{a}\left[-\frac{3/4}{\bar x+1/4} + \frac{1/4}{\bar x-3/4} - \frac12\bar x^2\right].\] Пусть \(f(\bar x) = \dfrac{a}{GM}\dfrac{d\varphi}{d\bar x}\); нужно решить \(f(\bar x_0) = 0\). Имеем \(f(0) > 0\) и \(f(0{,}5) < 0\), значит, решение лежит между 0 и 0,5. Для середины \(f(0{,}25) > 0\), поэтому \(0{,}25 < \bar x_0 < 0{,}5\). Подбором: \[f(0) > 0,\ f(0{,}5) < 0 \ \to\ f(0{,}25) > 0 \ \to\ f(0{,}375) < 0 \ \to\ \dots \ \to\ 0{,}358 < \bar x_0 < 0{,}361 \ \to\ f(0{,}360) > 0 \ \to\ 0{,}360 < \bar x_0 < 0{,}361.\] Итак, \(\dfrac{x_0}{a} = \bar x_0 \approx 0{,}36\) с точностью до двух значащих цифр.

A-4. Момент импульса системы: \[J = \mu aV = \mu a^2\omega = \frac{M_1M_2}{M}\,a^2\sqrt{\frac{GM}{a^3}} = \sqrt{\frac{GM_1^2M_2^2}{M}\,a},\] где \(\mu\) — приведённая масса, \(V\) — относительная скорость точек. Логарифмируем: \[\ln J = \frac12\left[\ln G + \ln M_1^2 + \ln M_2^2 - \ln M + \ln a\right].\] Для медленно меняющихся величин \(\dfrac{\dot J}{J} = \dfrac{\dot M_1}{M_1} + \dfrac{\dot M_2}{M_2} + \dfrac12\dfrac{\dot a}{a}\), поскольку полная масса постоянна и \(\dot M_1 + \dot M_2 = 0\). Отсюда \[\frac{\dot a}{a} = -2\frac{\dot M_1}{M_1}\left(1 - \frac{M_1}{M_2}\right) \quad\Rightarrow\quad \dot a = -2\beta a\left(\frac{1}{M_1} - \frac{1}{M_2}\right).\] Для периода \(P = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}\) имеем \(\dfrac{\dot P}{P} = \dfrac32\dfrac{\dot a}{a} = -3\dfrac{\dot M_1}{M_1}\left(1 - \dfrac{M_1}{M_2}\right)\), откуда \[\dot P = -6\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM}}\,\beta\left(\frac{1}{M_1} - \frac{1}{M_2}\right).\]

A-5. Рассмотрим тонкое кольцо с внутренним радиусом \(r\) и внешним радиусом \(r+dr\). Энергия покидает его со скоростью \(-\dfrac{GM_1\beta}{2r}\) и поступает со скоростью \(-\dfrac{GM_1\beta}{2r} + \dfrac{GM_1\beta}{2r^2}\,dr\). Чтобы кольцо оставалось в равновесии, избыточная энергия \(\dfrac{GM_1\beta}{2r^2}\,dr\) в единицу времени должна уходить из системы в виде излучения: \[dP = \frac{GM_1\beta}{2r^2}\,dr = \sigma T^4\cdot2\cdot(2\pi r\,dr) = 4\pi r\,\sigma T^4\,dr \quad\Rightarrow\quad T = \left(\frac{GM_1\beta}{8\pi\sigma r^3}\right)^{1/4}.\] (Множитель 2 учитывает излучение с обеих сторон диска.)

A-6. Из \(P = 2\pi\sqrt{\dfrac{a^3}{GM}}\) получаем \[a = \left[\frac{P^2G(M_S+M_{NS})}{4\pi^2}\right]^{1/3}.\] Используя результат A-5 с \(r = a/10\): \[T = \left(\frac{GM_{NS}\beta}{8\pi\sigma r^3}\right)^{1/4} = \left(\frac{500\pi\,M_{NS}\,\beta}{\sigma P^2(M_S+M_{NS})}\right)^{1/4} = 9\times10^3\ \text{К}.\]

A-7. Для связанности системы полная механическая энергия должна быть отрицательной: \[E' = \frac12\mu'v'^2 - \frac{GM_1'M_2}{a} < 0 \quad\Rightarrow\quad v' < \sqrt{\frac{2G(M_1'+M_2)}{a}}.\] Для изотропного взрыва \(v' = v = \sqrt{\dfrac{GM}{a}}\), поэтому \[\sqrt{\frac{G(M_1+M_2)}{a}} < \sqrt{\frac{2G(M_1'+M_2)}{a}} \quad\Rightarrow\quad \frac{M_1-M_2}{2} < M_1'.\]

B-1. По закону всемирного тяготения, при \(\rho \approx \rho_c\), \[g = -\frac{4\pi G\int_0^r r'^2\rho\,dr'}{r^2} \approx -\frac{4\pi G\rho_c r^3/3}{r^2} = -\frac{4\pi G\rho_c}{3}\,r.\]

B-2. Баланс сил для элемента объёма с площадью поверхности \(A\) и толщиной \(\Delta r\) между радиусами \(r\) и \(r+\Delta r\): \[-\frac{GM(r)\rho}{r^2}A\,\Delta r - \Delta p\,A = 0,\] где \(M(r)\) — масса части звезды внутри радиуса \(r\). Так как \(\Delta r\) мало, \[\frac{G\rho}{r^2}\left(\int_0^r4\pi r'^2\rho(r')\,dr'\right) = -\frac{dp(r)}{dr} = -K\gamma\rho^{\gamma-1}\frac{d\rho}{dr}.\] Умножаем обе части на \(\dfrac{r^2}{4\pi G\rho}\) и дифференцируем по \(r\), получаем \[\frac{d}{dr}\left[r^2\rho^{\gamma-2}\frac{d\rho}{dr}\right] + \frac{4\pi G r^2}{K\gamma}\,\rho(r) = 0.\] Отсюда \(h_1(\rho,r) = r^2\rho^{\gamma-2}\), \(h_2(r) = \dfrac{4\pi G r^2}{K\gamma}\).

B-3. Размерности: \([\rho_c] = \text{M}\,\text{L}^{-3}\), \([p_c] = \text{M}\,\text{L}^{-1}\text{T}^{-2}\), \([G] = \text{M}^{-1}\text{L}^3\text{T}^{-2}\). Для \([G^l p_c^m \rho_c^n] = \text{L}\): \[\begin{cases} -l + m + n = 0 \\ 3l - m - 3n = 1 \\ -2l - 2m = 0\end{cases} \quad\Rightarrow\quad l = -\frac12,\quad m = \frac12,\quad n = -1.\] Итак, \(r_0 = G^{-1/2}\,p_c^{1/2}\,\rho_c^{-1}\).

B-4. Подставляем \(r = r_0x\) и \(\rho = \rho_c u\) в уравнение B-2. Производные по \(r\) дают \(\dfrac{d}{dr} = \dfrac{1}{r_0}\dfrac{d}{dx}\), а после сокращения общего множителя \(\rho_c^{\gamma-1}\) коэффициент при \(x^2u\) равен \(\dfrac{4\pi G r_0^2\rho_c^{2-\gamma}}{K\gamma}\). Он равен \(\dfrac{4\pi}{\gamma}\) при \(r_0^2 = \dfrac{K\rho_c^{\gamma-2}}{G}\), что совпадает с выбором \(r_0\) из B-3, так как \(p_c = K\rho_c^\gamma\). В результате получаем \[\frac{d}{dx}\left[x^2u^{\gamma-2}\frac{du}{dx}\right] + \frac{4\pi x^2}{\gamma}\,u(x) = 0.\] Отсюда \(A_1(u,x) = x^2u^{\gamma-2}\), \(A_2(x) = \dfrac{4\pi x^2}{\gamma}\).

B-5. При \(\gamma = 2\): \[\frac{d}{dx}\left[x^2\frac{du}{dx}\right] = -2\pi x^2u(x).\] Подстановка \(u = f/x\) даёт \(f''(x) = -2\pi f(x)\), откуда \[f(x) = \frac{\sin(\sqrt{2\pi}\,x)}{\sqrt{2\pi}}.\] (Нормировка выбрана так, что \(f'(0) = 1\).)

B-6. Раскрываем уравнение в B-4 в виде \[\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{\gamma-2}{u}\left(\frac{du}{dx}\right)^2 + \frac{2}{x}\frac{du}{dx} + \frac{4\pi}{\gamma}\,u^{3-\gamma} = 0.\] Граничные условия при \(x\to0\): \(u'(0) = 0\) и \(\lim_{x\to0}\dfrac{u'(x)}{x} = u''(0)\). Тогда \(u''(0) + 2u''(0) + \dfrac{4\pi}{\gamma} = 0\), откуда \[\gamma = -\frac{4\pi}{3\,u''(0)}.\] По кривой рисунка 2 в окрестности \(x = 0\) находится \(u''(0)\) и далее \(\gamma \approx [1{,}64;\,1{,}70]\).

B-7. Пусть \(M(r)\) — масса внутри сферического слоя. Масса внутри \(\tilde r\) сохраняется: \[4\pi r^2\rho(r) = 4\pi\tilde r^2\tilde\rho\,\frac{\partial\tilde r}{\partial r} \quad\Rightarrow\quad \frac{\tilde\rho}{\rho} = \frac{r^2}{\tilde r^2}\left(\frac{\partial\tilde r}{\partial r}\right)^{-1} = (1+\varepsilon)^{-3} \simeq 1-3\varepsilon.\] Также \[\frac{\tilde g}{g} = \frac{GM/\tilde r^2}{GM/r^2} = (1+\varepsilon)^{-2} \simeq 1-2\varepsilon.\] Итак, \(\tilde g \simeq g(1-2\varepsilon)\), \(\tilde\rho \simeq \rho(1-3\varepsilon)\).

B-8. Имеем \[\frac{\partial\tilde p}{\partial\tilde r} = \tilde\rho\left(\tilde g - \ddot{\tilde r}\right), \qquad \tilde p = K\tilde\rho^\gamma.\] Тогда \[\ddot{\tilde r} = \tilde g - \frac{\partial\tilde p/\partial\tilde r}{\tilde\rho} = \tilde g - K\gamma\tilde\rho^{\gamma-2}\frac{\partial\tilde\rho}{\partial\tilde r}.\]

B-9. Используя результаты B-7 и B-8, \[\ddot{\tilde r} = g(1-2\varepsilon) - K\gamma\rho^{\gamma-2}\frac{\partial\rho}{\partial r}\,(1-3(\gamma-1)\varepsilon-\varepsilon).\] Равновесие требует \(g - K\gamma\rho^{\gamma-2}\dfrac{\partial\rho}{\partial r} = 0\). Поэтому \[r\ddot\varepsilon = \ddot{\tilde r} = g(1-2\varepsilon) - g(1-3(\gamma-1)\varepsilon-\varepsilon) = g(3\gamma-4)\,\varepsilon,\] \[\ddot\varepsilon = \frac{g}{r}(3\gamma-4)\,\varepsilon = -\frac{4\pi G\rho_c}{3}(3\gamma-4)\,\varepsilon.\] Устойчивость требует \(3\gamma-4 > 0\), т.е. \(\gamma > \dfrac43\), следовательно, \(\gamma_{\min} = \dfrac43\). Угловая частота колебаний \[\omega = \sqrt{\frac{4\pi G\rho_c}{3}(3\gamma-4)}.\]