Оптический чёрный ящик

Подсказка

Для каждого порта достаточно посветить лазером и посмотреть, что вышло из остальных портов: число пучков, их расходимость и зависимость от поворота лазера. Фокусные расстояния и положение линз находят по линейному росту или спаду ширины пучка с расстоянием от ящика, решётки — по расстоянию между пучками порядков.

Ответ

E2.1: в центре — полупрозрачное зеркало, наклонённое под \(45^\circ\) к осям, плоскость идёт от угла между \(D\) и \(A\) к углу между \(B\) и \(C\). E2.2: \(A\) — собирающая линза, \(B\) — рассеивающая линза, \(C\) — дифракционная решётка, \(D\) — поляризатор. E2.3: \(A\): \(f=+6{,}3\pm0{,}3\) см (истинное \(+6{,}5\)) на расстоянии \(2{,}3\pm0{,}3\) см от центра; \(B\): \(f=-9{,}2\pm0{,}3\) см, \(2{,}2\pm0{,}1\) см от центра; \(C\): вертикальные штрихи, \(d=1{,}99\pm0{,}02\) мкм, \(3{,}0\pm0{,}1\) см от центра; \(D\): ось пропускания составляет \(65^\circ\) с вертикалью.

Решение

Что происходит. Пучок света, запущенный в любой порт, проходит по оптической оси и по пути встречает центральный элемент и элемент у другого порта, а на выходе наблюдается через остальные три порта. По тому, сколько пучков выходит, как они расходятся и как зависят от поворота лазера (лазер линейно поляризован), можно определить тип каждого элемента. А их свойства — положение и фокус линз, шаг решётки, ось поляризатора — получаются из измерений ширины или положения пучка на разных расстояниях от ящика: все зависимости оказываются линейными.

Рис. 5. Вид внутри ящика: полупрозрачное зеркало идёт по диагонали от угла между \(D\) и \(A\) к углу между \(B\) и \(C\); лучи из \(A\) (бирюзовые) и из \(D\) (чёрные): каждый разделяется на прошедший и отражённый.

E2.1. Центральный элемент. Последовательно светим лазером во все четыре порта и отмечаем, откуда выходит свет. Проверяем четыре варианта.

• Нет элемента. Свет выходил бы только из противоположного порта, но виден сигнал <<за угол>>: например, из порта \(B\) при освещении порта \(A\). Исключено.

• Полностью отражающее зеркало (с обеих сторон). Не пропустило бы свет прямо вдоль хотя бы одной из осей, а свет явно проходит от \(A\) к \(C\) и от \(B\) к \(D\) (при некоторых поляризациях на входе). Исключено.

• Призма-правильный треугольник. Углы между её поверхностями \(60^\circ\), она всегда отклоняла бы пучок с оптической оси, а прямой центральный пучок остаётся прямым. Исключено.

• Полупрозрачное зеркало. На любой входной пучок ящик даёт два заметных выходных — это и есть светоделитель. (В опыте организаторов — акриловая пластина толщиной 2 мм с полупрозрачной плёнкой на одной стороне.)

Чтобы определить ориентацию отражающей поверхности, заметим: чтобы связать две перпендикулярные оптические оси, зеркало должно стоять под \(45^\circ\) к обеим. Так как порты \(A\) и \(B\), а также \(C\) и \(D\) связаны (свет из \(A\) отражается в \(B\), из \(D\) — в \(C\)), отражающая поверхность идёт по диагонали от угла между \(D\) и \(A\) к углу между \(B\) и \(C\) (рис. 5). Проверка по закону отражения: луч, идущий из \(A\) вниз, при отражении от такой плоскости (<<\(\backslash\)>>) поворачивается вправо — к порту \(B\), а луч из \(D\) идёт вправо и поворачивается вниз — к порту \(C\).

E2.2. Элементы у портов. Светим последовательно в каждый порт, записываем наблюдения для остальных трёх портов и следим за эффектами при вращении лазера (меняется поляризация на входе) и за расходимостью пучка. Получаем таблицу наблюдений (строки — порт входа, столбцы — порт выхода).

Выводы.

• Поляризатор у порта \(D\). Во всех комбинациях с портом \(D\) есть сильная зависимость от поворота лазера, а в остальных комбинациях поляризационных эффектов нет. Значит, \(D\) — поляризатор.

• Дифракционная решётка у порта \(C\). Из порта \(C\) всегда выходит три пучка. Это возможно только если в \(C\) стоит дифракционная решётка. (При освещении через \(C\) старшие порядки обрезаются на других портах, поэтому выходит один пучок.)

• Собирающая линза у порта \(A\). При освещении вдоль оси \(C\)–\(A\) ясно виден фокус вне ящика — он может возникнуть только от элемента у порта \(A\). Значит, там собирающая линза.

• Рассеивающая линза у порта \(B\). Вдоль оси \(B\)–\(D\) получается расходящийся пучок. Это либо рассеивающая линза, либо собирающая линза с фокусом внутри ящика у \(B\); но расходимость настолько мала, что пучок не сходится в точку в пределах размера \(B\). Значит, в \(B\) рассеивающая линза.

E2.3. Свойства. Каждое окно защищено стеклянной пластинкой толщиной \(0{,}13\) мм, из-за чего элементы кажутся ближе к краю ящика на \(0{,}04\) мм, чем на самом деле (\(0{,}13\,(1-1/1{,}5)=0{,}04\) мм); для истинных положений вводим эту поправку (она много меньше погрешностей). Лазерный пучок коллимирован: ширина пятна постоянна, \(w_0\approx(3{,}8\pm0{,}2)\) мм (у разных лазеров от 3 до 6 мм). Релеевская длина \(z_R=\pi w_0^2/(4\lambda)\approx16\) м много больше длин путей в установке (меньше 50 см), поэтому расширением гауссова пучка при измерениях пренебрегаем.

a) Собирающая линза, порт \(A\) (положение и фокусное расстояние). Светим в порт \(C\) (там решётка, нулевой порядок которой повторяет профиль входного пучка) и измеряем размер пятна на разных расстояниях \(x\) от края ящика у порта \(A\). Фокус находим на глаз на расстоянии около 5 см; размеры после фокуса берём со знаком минус, чтобы огибающая пучка была прямой (рис. 6, 7). После линзы коллимированный пучок ширины \(w_0\) сходится так, что ширина пятна линейно убывает до нуля в фокусе, а затем линейно растёт (знак минус): \[w(x)=w_0\Bigl(1-\frac{x-x_L}{f}\Bigr)=-\frac{w_0}{f}\,x+w_0\Bigl(1+\frac{x_L}f\Bigr), \tag{1}\] где \(x_L\) — положение линзы: при \(x=x_L\) ширина равна \(w_0\). Измерения:

Рис. 6. Схема измерения: ширина пучка за выпуклой (вверху) и вогнутой (внизу) линзами в зависимости от расстояния до края ящика; по вертикали ширина пучка увеличена.

Рис. 7. Ширина пучка (со знаком) за собирающей линзой в зависимости от расстояния от края ящика; прямая — МНК, штрих — исходная ширина \(w_0\); точка — положение линзы.

МНК (python): \(w=(2{,}92\pm0{,}14)\ \text{мм}-(0{,}603\pm0{,}015)\ \text{мм/см}\cdot x\), то есть \(w_0/f=0{,}0603\pm0{,}0015\) (безразмерный наклон), откуда \[f=\frac{w_0}{0{,}0603}=\frac{3{,}8\ \text{мм}}{0{,}0603}\approx63\ \text{мм}=(6{,}3\pm0{,}3)\ \text{см}\] (погрешность из-за наклона \(2{,}4\,\%\) и из-за \(w_0\) \(5\,\%\); организаторы — \(6{,}3\pm0{,}2\) см, истинное \(f=+6{,}5\) см). Положение линзы находим из условия \(w=w_0\): \(x_L=(w_0-b)/k=(3{,}8-2{,}92)/(-0{,}603)=-1{,}45\) см (то есть линза на \(1{,}45\) см внутри от края ящика; край ящика — на \(3{,}8\) см от центра). От центра: \(3{,}8-1{,}45=2{,}35\) см, погрешность около \(0{,}3\) см (организаторы — \(2{,}1\pm0{,}3\) см: точку пересечения \(-1{,}7\) см они читают по графику, а МНК по их же таблице даёт \(-1{,}45\) см; истинное значение \(2{,}2\) см, оба результата с ним согласуются). Фокус на расстоянии \(x_L+f=4{,}85\) см от края ящика, как и видно на глаз (\(\approx5\) см).

b) Рассеивающая линза, порт \(B\). Светим в порт \(D\) (поляризатор не меняет расходимость пучка) и измеряем размер расходящегося пучка на разных расстояниях: на блок из стекла наклеен листок с миллиметровой шкалой, края пучка отмечаем карандашом (точность около \(0{,}2\) мм). Теперь ширина растёт линейно: \[w(x)=w_0\Bigl(1+\frac{x-x_L}{|f|}\Bigr)=w_0+w'\,(x-x_L),\qquad w'=\frac{w_0}{|f|} .\] Положение линзы — там, где ширина равна исходной \(w_0\). Измерения:

Рис. 8. Ширина пучка за рассеивающей линзой в зависимости от расстояния от края ящика; прямая — МНК, штрих — исходная ширина \(w_0\).

МНК: \(w=(4{,}46\pm0{,}05)\ \text{мм}+(0{,}4146\pm0{,}0053)\ \text{мм/см}\cdot x\), \(w'=0{,}0415\pm0{,}0005\) (организаторы тоже). Точка \(w=w_0\): \(x_L=(3{,}8-4{,}46)/0{,}4146=-1{,}6\pm0{,}1\) см от края, то есть \(3{,}8-1{,}6=2{,}2\pm0{,}1\) см от центра ящика (истинное значение \(2{,}1\) см). Фокусное расстояние \[f=-\frac{w_0}{w'}=-\frac{3{,}8\ \text{мм}}{0{,}0415}=-92\ \text{мм}=(-9{,}2\pm0{,}3)\ \text{см}\] (истинное \(-9{,}2\pm0{,}15\) см). Альтернатива: сдвигать ящик строго вбок вдоль линейки и измерять смещение пучка на большом расстоянии; смещение около 7 мм, точность около \(5\,\%\).

c) Дифракционная решётка, порт \(C\) (ориентация, шаг и положение). Решётка даёт два чётких боковых пучка первого и минус первого порядков в горизонтальном направлении: значит, это линейная решётка с вертикальными штрихами. Чтобы линзы не мешали, входим через поляризатор (\(D\)), включённый на максимальное пропускание, и выходим через решётку (\(C\)). Измеряем расстояние \(y\) между пучком нулевого порядка и первого на разных расстояниях \(x\) от ящика (рис. 9); побольше точек у ящика — для положения, и широкий диапазон расстояний — для угла. Углы дифракции: \[d\sin\alpha=n\lambda ,\qquad n=1,\] \(y=(x-x_g)\operatorname{tg}\alpha\), где \(x_g\) — положение решётки. Измерения:

Рис. 9. Расстояние между пучками нулевого и первого порядков в зависимости от расстояния до края ящика; прямая — МНК, чёрная точка — положение решётки (\(y=0\)).

МНК: \(y=0{,}267+0{,}3454\,x\) (наклон \(0{,}3454\pm0{,}0005\)), прямая пересекает \(y=0\) в \(x_0=-0{,}77\pm0{,}01\) см. Угол \(\alpha=\operatorname{arctg}0{,}3454=19{,}1^\circ\). Шаг решётки \[d=\frac{\lambda}{\sin\alpha}=\frac{650\ \text{нм}}{0{,}3266}=(1{,}99\pm0{,}02)\ \text{мкм}\] (погрешность определяется в основном длиной волны: \(5/650=0{,}8\,\%\), а наклон известен до \(0{,}14\,\%\); истинное значение \(2\) мкм). Положение решётки — там, где прямая пересекает ось: \(x_g=3{,}8+x_0=(3{,}0\pm0{,}1)\) см от центра ящика (основная неопределённость — расстановка ящика и экрана, около 1 мм; истинное \(3{,}12\) см). У организаторов это число названо расстоянием <<от внешнего края ящика>>, но при \(x_0<0\) сумма \(3{,}8+x_0\) — расстояние от центра (от края решётка всего в \(0{,}77\) см), и таблица 1 спрашивает именно расстояние до центра — так же, как у линз.

d) Поляризатор, порт \(D\) (угол). Чтобы найти направление поляризатора, нужно точно знать поляризацию лазерного пучка. Её определяют с помощью акрилового блока по отражению от поверхности под углом Брюстера: при \(\operatorname{tg}\theta_B=n=1{,}5\), \(\theta_B=56{,}3^\circ\), отражённый и преломлённый лучи перпендикулярны (\(\theta_B+\theta_t=90^\circ\), \(\theta_t=33{,}7^\circ\)), и свет, поляризованный в плоскости падения, не отражается (рис. 10). Ставим угол падения на вертикальную поверхность блока равным углу Брюстера и поворачиваем лазер вокруг его оси до исчезновения отражённого пучка: при этом поляризация лазера горизонтальна — отмечаем это положение на колёсике.

Рис. 10. Определение поляризации лазера: падение на вертикальную поверхность стекла под углом Брюстера; отражённый луч (штрих) исчезает при горизонтальной поляризации.

Затем светим лазером в порт \(D\) (поляризатор — вход, а не выход: центральный делитель может частично поляризовать свет и исказить измерение). Поворачиваем лазер вокруг оси до минимального пропускания (минимум находится точнее максимума, потому что относительное изменение интенсивности остаётся большим), и отмечаем этот угол относительно положения вертикальной поляризации лазера: это направление наибольшего подавления, а ось пропускания поляризатора повёрнута на \(90^\circ\) от него. Измерение минимума быстрое, но неточное, поэтому хорошо провести два измерения с разворотом на \(180^\circ\) и усреднить. Результат организаторов: ось пропускания поляризатора составляет \(65^\circ\) с вертикальной осью ящика, то есть \(25^\circ\) с горизонтальной (в какую сторону от вертикали — не требуется: зеркально симметричные ориентации не различают). В конце решения организаторов сказано <<угол от горизонтальной оси>>, но таблица 1 задаёт поляризатор углом от вертикали, и сам результат сформулирован от вертикали — его и принимаем.

Проверка. Размерность и разумность: \(f=w_0/(\text{наклон})\) — миллиметры делить на безразмерный наклон дают миллиметры; найденные положения всех элементов лежат в пределах слотов (\(2{,}2\); \(2{,}2\) и \(3{,}0\) см от центра при половине стороны \(3{,}8\) см). Фокус собирающей линзы \(x_L+f=4{,}85\) см от края совпадает с наблюдением <<примерно 5 см>>. Шаг решётки \(2\) мкм даёт угол первого порядка \(\arcsin(0{,}65/2)=19{,}0^\circ\) — в согласии с \(19{,}1^\circ\) из наклона. Расходимость за рассеивающей линзой: на \(x=15\) см ширина \(10{,}7\) мм, а по формуле \(w_0(1+(15+1{,}6)/9{,}2)=10{,}7\) мм — то же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.