Магнитный маятник

Масса магнитов находится из положения центра масс маятника без магнитов и с ними; а вот частоту удобно линеаризовать в координатах \(\omega^2\) и \(d^{-5}\), там прямая даёт и собственную частоту, и произведение дипольных моментов. Когда \(\omega\to0\), квадратичные члены потенциала сокращаются, и остаётся магнитная четвёртая степень угла.

E1.1: \(M_{\text{маг}}\approx7{,}7\) г, \(M_{\text{пен}}\approx44{,}6\) г (\(M_{\text{пен}}/M_{\text{маг}}\approx5{,}8\));  E1.2: \(k=(2{,}14\pm0{,}05)\cdot10^6\) см\(^5\)/с\(^2\), \(I=1{,}38\cdot10^{-3}\) кг\(\cdot\)м\(^2\), \(j_1j_2=(2{,}33\pm0{,}05)\) (А\(\cdot\)м\(^2\))\(^2\), \(j_1=0{,}98\) А\(\cdot\)м\(^2\), \(j_2=2{,}36\) А\(\cdot\)м\(^2\), \(j_1/M_{\text{маг}}=0{,}128\) А\(\cdot\)м\(^2\)/г;  E1.3: \(\alpha=-6{,}3\pm0{,}3\approx-6\), неизвестные магниты — квадруполи;  E1.4: \(d_{\text{комп}}=(8{,}43\pm0{,}05)\) см, в промежуточном диапазоне \(T\propto A^{-1}\) (измеренный показатель \(-0{,}63\)).

Что происходит. Магнит на маятнике находится в магнитном поле внешних магнитов. Вблизи положения равновесия это поле, как функция смещения \(x\), имеет вид \(B_y(x)=B_0-\beta x^2+\dots\), и поэтому магнитная энергия \(j_1B\) даёт добавку к потенциальной энергии маятника с квадратичным членом того же вида, что и гравитационный, но с произвольным знаком: притяжение увеличивает частоту, отталкивание уменьшает. Это даёт линейную связь \(\omega^2\) с \(d^{-5}\). При подобранном расстоянии квадратичные члены полностью сокращаются, и остаётся член четвёртой степени от угла, дающий период, обратно пропорциональный амплитуде. А если внешний магнит устроен не как диполь, показатель \(d\) в магнитном сдвиге частоты меняется — по нему можно судить о его структуре.

Обозначения. \(M\) — масса корпуса маятника, \(m\) — масса магнитов на нём, \(\ell=23{,}0\) см — расстояние от магнитов до оси, \(s\) — расстояние от центра масс маятника до оси (\(s_0=12{,}0\) см без магнитов, \(s_1=13{,}6\) см с магнитами), \(I\) — момент инерции с магнитами, \(\varphi\) — угол отклонения от равновесия.

Вывод изменённой частоты (дано участникам). Движение физического маятника происходит в плоскости \(y=0\) (одна степень свободы). Магнитный диполь, направленный вдоль оси \(y\), закреплён на маятнике так, что в равновесии он находится в начале координат. Ещё два \(y\)-направленных диполя стоят на оси \(y\) в точках \(y=\pm d\). Суммарный дипольный момент магнитов маятника — \(j_1\), моменты внешних магнитов — по \(j_2\). Поле точечного диполя \(\vec m\) в начале координат \[\vec B(\vec m,\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\frac{3\vec r\,(\vec m\cdot\vec r)}{r^5}-\frac{\vec m}{r^3}\right).\] \(y\)-компонента поля диполя \((0,j_2,0)\) в точке \((0,d,0)\) на оси \(x\) равна \[B_y(d,x)=\frac{\mu_0}{4\pi}\,j_2\,\frac{2d^2-x^2}{(x^2+d^2)^{5/2}},\] функция симметрична по \(d\), поэтому два внешних магнита дают на оси \(x\) одинаковые вклады. Разложение в ряд Тейлора около \(x=0\): \[B_y(d,x)=\frac{\mu_0}{4\pi}\,j_2\left(\frac2{d^3}-\frac{6x^2}{d^5}+\frac{45}{4}\frac{x^4}{d^7}+O(x^6)\right).\] Потенциальная энергия маятника как функция угла \(\varphi\) (магнит маятника движется по дуге, \(x=2\ell\sin(\varphi/2)\approx\ell\varphi\)): \[U(\varphi)=Mgs\,(1-\cos\varphi)+j_1\cdot2B_y\bigl(d,\,2\ell\sin(\varphi/2)\bigr),\] где \(M\) здесь — полная масса маятника. Отбрасывая константы и члены высших порядков: \[U(\varphi)\approx\frac{Mgs\,\varphi^2}2+\frac{\mu_0}{4\pi}\,j_1\cdot2j_2\cdot\Bigl(-\frac6{d^5}\ell^2\varphi^2\Bigr)=\frac12\Bigl(Mgs-\frac{6\mu_0}{\pi}\,j_1j_2\,\frac{\ell^2}{d^5}\Bigr)\varphi^2 .\] Кинетическая энергия \(T=I\dot\varphi^2/2\), из уравнения \(\partial_\varphi U=-\dfrac d{dt}\,\partial_{\dot\varphi}T\) получаем \(\omega^2=\omega_1^2\pm\omega_{\text{маг}}^2\) с \(\omega_1^2=Mgs/I\) и \(\omega_{\text{маг}}^2=\dfrac{6\mu_0}{I\pi}\,j_1j_2\,\dfrac{\ell^2}{d^5}\) (знак плюс — для притягивающей полярности внешних магнитов, минус — для отталкивающей).

E1.1. Массы. Весов нет, но отношение масс магнитов и маятника можно найти несколькими способами (в порядке падения точности: наклон по лазеру, центр масс, частота). Годится любой метод, если результат хорош: оцениваются только массы магнитов.

Метод центра масс. Лежащий маятник уравновешиваем на ребре линейки: отмечаем центр масс без магнитов (точка \(S\)), затем прикрепляем магниты в точке \(P\), как можно более удалённой от \(S\) (например, внизу по центру), и находим новый центр масс \(S'\) (рис. 2). Условие равновесия — равенство моментов сил тяжести относительно ребра линейки в \(S'\) (силы направлены вертикально, плечи — горизонтальные расстояния): \[M\cdot SS'=m\cdot S'P .\] При измеренных \(SS'=(1{,}6\pm0{,}1)\) см и \(S'P=(9{,}4\pm0{,}1)\) см получаем \[\frac Mm=\frac{S'P}{SS'}=5{,}9\pm0{,}4,\qquad m=\frac{M+m}{1+M/m}=\frac{52{,}3}{6{,}9}=(7{,}6\pm0{,}5)\ \text{г},\qquad M=52{,}3-7{,}6=44{,}7\ \text{г}.\] Повторяем для разных положений магнитов — каждый раз получаем независимую оценку.

Рис. 2. Маятник на ребре линейки в точке \(S'\): моменты сил тяжести корпуса (\(M\vec g\) в точке \(S\)) и магнитов (\(m\vec g\) в точке \(P\)).

Метод наклона (по лазеру; опыт организаторов на облегчённом прототипе). Если магнит находится в точке \((x_m,y_m)\) относительно оси, маятник останавливается под углом \(\alpha\) к вертикали: \(\operatorname{tg}\alpha=\delta y/d\) (смещение пятна на экране на расстоянии \(d\); множителя 2 нет, так как ось зеркала параллельна лучу). Угол \(\beta\) между вертикалью и линией от оси до магнита удовлетворяет \(\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=x_m/y_m\); баланс моментов относительно оси: \[M\,s_0\sin\alpha=m\,\sqrt{x_m^2+y_m^2}\,\sin\beta .\] Для \(x_m=7{,}7\) см, \(y_m=18{,}0\) см, \(d=55\) см, \(\delta y=5{,}9\) см, \(s_0=11{,}4\) см: \(\alpha=6{,}12^\circ\), \(\beta=17{,}0^\circ\), \(M/m=4{,}7\pm0{,}4\) (у прототипа другое отношение масс); график по нескольким положениям магнита даёт \(M/m=4{,}92\pm0{,}03\) (только ошибка подгонки).

Метод частоты. Без магнитов \(I_0\omega_0^2=Mgs_0\); с магнитами \((I_0+m\ell^2)\omega_1^2=(M+m)gs_1\) (\(I_0\) — момент инерции корпуса). Исключая \(I_0\): \[\frac Mm=\frac{\ell^2\omega_1^2/g-s_1}{s_1-s_0\,\omega_1^2/\omega_0^2}=6{,}2\pm0{,}3,\] по периодам \(T_0=(863\pm5)\) мс и \(T_1=(885\pm3)\) мс (\(\omega=2\pi/T\)) (проверено на python). У организаторов \(6{,}1\pm0{,}3\) — согласуется; в их формуле (22) напечатано \(s_1^2/\omega_1^2\) и \(s_0^2/\omega_0^2\) вместо \(s_1/\omega_1^2\) и \(s_0/\omega_0^2\), это опечатка: так формула не сходится по размерности с \(\ell^2/g\). Метод, основанный на положении максимума частоты \(\omega(y)\) при вертикальном сдвиге магнита (рис. 3), грубее остальных: \(M/m=6{,}7\ldots14\) при \(y_0=(10\pm3)\) см, \(\omega_{\max}=(7{,}65\pm0{,}05)\) с\(^{-1}\).

Рис. 3. Частота маятника в зависимости от положения магнита на расстоянии \(y\) от оси (значения с рисунка организаторов).

Результат: организаторы взвесили маятники — \(M_{\text{маг}}=(7{,}68\pm0{,}01)\) г (пара), \(M_{\text{пен}}=(44{,}7\pm1{,}7)\) г, \(M/m=5{,}82\pm0{,}22\); принимается \(M_{\text{маг}}\) в интервале \((7{,}7\pm1{,}0)\) г. Все методы согласуются с этим по порядку величины, наиболее точен метод наклона.

E1.2. Магнитные дипольные моменты. a) Измерения. Диапазон частот максимален, если использовать обе полярности внешних магнитов: притяжение (ближе всего \(d\approx7\) см — ограничено тем, что магниты в рельсе сползают к маятнику) и отталкивание (ограничение — точка полной компенсации около \(8{,}4\) см, практичны расстояния до \(d\approx9\) см). Ближе в режиме отталкивания у маятника двухъямный потенциал, формула (1) даёт отрицательное \(\omega^2\) и неприменима. Так как строится график \(\omega^2\) от \(d^{-5}\), малые \(d\) нужно брать гуще: выбираем равные шаги по \(d^{-5}\), например \(d=\infty,\ 1{,}32,\ 1{,}15,\ 1{,}06,\ 1\,(\times d_0)\) (бесконечность — убрать магниты). По каждому \(d\) — не менее 10 колебаний, амплитуда очень малая, магниты точно на одной прямой.

b) Обработка. Считая расстояния при отталкивании отрицательными (знак переходит в \(\pm\omega_{\text{маг}}^2\)), объединяем обе серии: \[\omega^2=\omega_1^2+\frac{6\mu_0\ell^2}{I\pi}\,j_1j_2\cdot\frac1{d^5}=\omega_1^2+k\,\frac1{d^5},\qquad k=\frac{6\mu_0\ell^2}{I\pi}\,j_1j_2 .\] По графику \(\omega^2\) от \(\pm d^{-5}\) (рис. 4) — прямая: наклон \(k=(2{,}14\pm0{,}05)\cdot10^6\) см\(^5\)/с\(^2\), отрезок \(\omega_1^2=(50{,}3\pm0{,}3)\) с\(^{-2}\). По точкам рисунка организаторов (рис. 4; по рисунку они читаются с погрешностью порядка 4 %) получается \(k\approx2{,}2\cdot10^6\) см\(^5\)/с\(^2\) и \(\omega_1^2\approx51\) с\(^{-2}\), согласуется.

Рис. 4. \(\omega^2\) в зависимости от \(\pm d^{-5}\): притяжение — \(+\), отталкивание — \(-\). Точки считаны с рисунка организаторов, прямая — по \(k=2{,}14\cdot10^6\) см\(^5\)/с\(^2\) и \(\omega_1^2=50{,}3\) с\(^{-2}\); чёрная точка — пересечение с осью \(d_{\text{комп}}\).

Для \(j_1j_2\) нужно знать \(I\) и \(\ell\). Момент инерции находим из собственной частоты: \(\omega_1^2=(M+m)gs_1/I\), где \(M+m=52{,}3\) г (дано), \(s_1=(13{,}6\pm0{,}1)\) см (по равновесию на линейке), \(\ell=(23{,}0\pm0{,}1)\) см: \[I=\frac{(M+m)\,g\,s_1}{\omega_1^2}=\frac{0{,}0523\cdot9{,}81\cdot0{,}136}{50{,}3}=1{,}38\cdot10^{-3}\ \text{кг}\cdot\text{м}^2 .\] Произведение моментов (в СИ \(k=2{,}14\cdot10^{-4}\) м\(^5\)/с\(^2\)): \[j_1j_2=k\,\frac{I\pi}{6\mu_0\ell^2}=2{,}14\cdot10^{-4}\cdot\frac{1{,}38\cdot10^{-3}\,\pi}{6\cdot4\pi\cdot10^{-7}\cdot0{,}0529}=2{,}33\pm0{,}05\ (\text{А}\cdot\text{м}^2)^2 .\] Отсюда при \(j_2=2{,}4j_1\): \[j_1=\sqrt{\frac{j_1j_2}{2{,}4}}=0{,}98\pm0{,}01\ \text{А}\cdot\text{м}^2,\qquad j_2=\sqrt{2{,}4\,j_1j_2}=2{,}36\pm0{,}03\ \text{А}\cdot\text{м}^2 .\] Удельная намагниченность материала магнитов маятника, \(M_{\text{маг}}=7{,}68\) г: \[\frac{j_1}{M_{\text{маг}}}=\frac{0{,}98}{7{,}68}=0{,}128\pm0{,}03\ \frac{\text{А}\cdot\text{м}^2}{\text{г}} .\] Ожидаемое значение для NdFeB N42 по паспортным остаточной индукции (\(1{,}29\ldots1{,}32\) Тл) и плотности (\(7{,}4\ldots7{,}5\) г/см\(^3\)): \(B_r/(\mu_0\rho)=0{,}137\ldots0{,}142\) А\(\cdot\)м\(^2\)/г; наблюдаемое на 10 % меньше — вероятно, из-за краевых эффектов в небольших магнитах (там намагниченность неоднородна). Отношение 2,4 между моментом внешнего и маятниковых магнитов, измеренное магнитометром, выше отношения объёмов 2,2 (без покрытий) — тоже в пользу краевых эффектов.

E1.3. Неизвестные внешние магниты. Неизвестные магниты оказались симметричными относительно поворота на \(180^\circ\) (в отличие от диполей, которые антисимметричны). Притяжение и отталкивание получаются перестановкой F1 и F2 (они намагничены противоположно) или переворотом магнитов маятника (тогда \(\omega_1\) надо измерить заново). Поле слабее, поэтому в режиме притяжения можно подойти до \(d=5\) см, в режиме отталкивания — до \(5{,}5\) см; расстояния берём с равным шагом по логарифму, то есть каждое следующее в одно и то же число раз меньше. Режимы притяжения и отталкивания в один график не объединяются, но служат независимыми измерениями абсолютной величины сдвига; для точности выбирают притяжение (шире диапазон \(d\) и выше частоты).

Показатель степени. Строим \(|\omega^2-\omega_1^2|\) от \(d\) в двойном логарифмическом масштабе (рис. 5): степенной закон \(\omega_{\text{маг}}^2\propto d^{\alpha}\) даёт прямую с наклоном \(\alpha\). По точкам рисунка организаторов (пересчёт на python): наклон \(-6{,}32\), у организаторов \(\alpha=-6{,}33\pm0{,}32\), то есть \[\omega_{\text{маг},F}^2\propto d^{-6}.\]

Рис. 5. \(\ln(|\omega^2-\omega_1^2|\cdot\text{с}^2)\) от \(\ln(d/\text{см})\) для неизвестных магнитов: притяжение (тёмные точки) и отталкивание (светлые); прямая — МНК по точкам рисунка организаторов, наклон \(-6{,}3\).

Конфигурация диполей. У диполей показатель на единицу меньше (\(d^{-5}\)). Квадрат сдвига частоты следует кривизне поля (вторая производная \(B\) по смещению), и два дифференцирования прибавляют к показателю закона поля по 1 за каждое: показатель \(d^{-6}\) означает \(B\propto r^{-4}\), на единицу больше, чем у диполя (\(r^{-3}\)). Такой закон — у магнитного квадруполя: две равные противоположные дипольные системы, у которых полный дипольный момент равен нулю. Простейшая конфигурация, согласующаяся с цилиндрической симметрией и симметрией относительно переворота: в каждом неизвестном магните два соосных цилиндрических диполя с противоположными моментами: в одном они обращены друг к другу северными полюсами, в другом — южными (рис. 6). Какой из двух магнитов F1, а какой F2, по сдвигу частоты не узнать, пока неизвестна полярность магнитов маятника (организаторы на своём рисунке их тоже не подписывают), поэтому на рис. 6 F1 слева — условно. Подходит и вариант с радиальной намагниченностью цилиндров (внутри и снаружи полюса противоположны) — его труднее изготовить, но в главном порядке он неотличим от настоящего. Другие способы составить квадруполь из противоположных диполей (например, со смещением, не параллельным моментам) исключены цилиндрической симметрией магнитов (её можно проверить, вращая неизвестный магнит в поле диполя).

Рис. 6. Возможная конфигурация диполей в неизвестных магнитах (как у организаторов): в каждом — два соосных диполя с противоположными моментами; N — северный полюс, S — южный. Подписи F1 и F2 — условные.

E1.4. Нелинейный маятник. a) Расстояние полной компенсации. Самый точный способ — по результатам E1.2: точка пересечения прямой \(\omega^2(d^{-5})\) с осью абсцисс, то есть \(\omega_1^2=k/d_{\text{комп}}^5\): \[d_{\text{комп}}=\Bigl(\frac k{\omega_1^2}\Bigr)^{1/5}=\Bigl(\frac{2{,}14\cdot10^{6}}{50{,}3}\Bigr)^{1/5}\ \text{см}=(8{,}43\pm0{,}05)\ \text{см}.\] Можно подойти и вручную к точке компенсации, проверяя отсутствие двух отдельных минимумов. Измерение расстояния между расщеплёнными минимумами при \(d<d_{\text{комп}}\) менее удобно: зависимость сильно искривлена, и экстраполяция к нулю расщепления неточна.

b) Зависимость периода от амплитуды. При полной компенсации квадратичные члены гравитационного и магнитного потенциала сокращаются (рис. 7), и поведение определяет член четвёртой степени. Из разложения при \(d=d_{\text{комп}}\): \[U(\varphi)\approx b\,\varphi^4,\qquad b=\frac{45\mu_0}{8\pi}\,j_1j_2\,\frac{\ell^4}{d^7}\approx0{,}49\ \text{Дж}.\] Членов четвёртого порядка ещё два: от гравитации \(-Mgs\,\varphi^4/24\) и от квадратичного магнитного члена, так как \(x^2=4\ell^2\sin^2(\varphi/2)=\ell^2\varphi^2-\ell^2\varphi^4/12\); второй равен \(+\frac{\mu_0}{4\pi}\,2j_1j_2\,\frac{6\ell^2}{d^5}\cdot\frac{\varphi^4}{12}=+\frac{Mgs}{24}\varphi^4\) в силу условия компенсации, и они сокращаются точно. Числа посчитаны на python при \(j_1j_2=2{,}33\) (А\(\cdot\)м\(^2\))\(^2\), \(\ell=0{,}23\) м, \(d=0{,}0843\) м.

Рис. 7. Потенциальная энергия маятника: без магнитов \(U=I\omega_1^2(1-\cos\varphi)\) (чёрная) и при полной компенсации квадратичных членов \(U=b\varphi^4\), \(b=0{,}49\) Дж (бирюзовая).

Период колебаний в потенциале \(b\varphi^4\) с амплитудой \(A\) находим из закона сохранения энергии \(\tfrac12I\dot\varphi^2+b\varphi^4=bA^4\): \[T=4\int_0^A\frac{d\varphi}{\sqrt{2b(A^4-\varphi^4)/I}}=\frac{4}{A}\sqrt{\frac I{2b}}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{4\cdot1{,}311}{A}\sqrt{\frac I{2b}}\approx\frac{0{,}198\ \text{с}\cdot\text{рад}}{A},\] то есть \(T\propto A^{-1}\): период обратно пропорционален амплитуде (в расчёте \(I=1{,}38\cdot10^{-3}\) кг\(\cdot\)м\(^2\)). Эту зависимость можно проверить на двойном логарифмическом графике: прямая с наклоном \(-1\). Реальное поведение делится на три области: для малых амплитуд период постоянен (он определяется оставшимся из-за неточной компенсации малым квадратичным членом), в промежуточной области доминирует магнитный квартичный член, \(T\propto A^{-1}\), для больших амплитуд влияние локализованного магнитного потенциала мало, и период приближается к периоду маятника без магнитов \(T_0=0{,}885\) с. Размер промежуточной области зависит от качества компенсации (отношение периодов \(T(0)/T_0\) при малой амплитуде и без магнитов). Граница начала: \(\tfrac12I\omega_{\text{ост}}^2A^2\sim bA^4\); при \(T(0)=3{,}6\) с получается \(A\approx4^\circ\), в согласии с рис. 8.

Рис. 8. Измеренный период в зависимости от амплитуды при почти полной компенсации (точки считаны с рисунка организаторов; ось \(T\) логарифмическая); штрих — асимптота \(T=0{,}198/A\) при чисто квартичном потенциале, пунктир — период без магнитов \(T_0\).

Теоретический показатель \(-1\) в эксперименте обычно не достигается, так как квартичный член нигде не доминирует полностью. Максимально возможный показатель считается численно как функция степени компенсации; для данных рис. 8 при \(T(0)/T_0=4{,}08\) ожидается \(-0{,}645\) (усреднение по удвоению амплитуды даёт \(-0{,}63\)). Линейная регрессия по точкам рисунка организаторов на самом крутом участке даёт \(-0{,}6\) (\(-0{,}58\) по участку \(4^\circ\ldots10^\circ\)), у организаторов \(a=-0{,}63\pm0{,}02\). Расхождение с \(-1\) объясняется остатком квадратичного члена (неточная компенсация) и членами высших порядков: магнитный потенциал локализован у положения равновесия, и при больших амплитудах снова главной становится гравитация. Тем не менее произведение \(T\cdot A\) в области \(8^\circ\ldots10^\circ\) равно \(0{,}20\ldots0{,}22\) с\(\cdot\)рад вместо \(0{,}198\) — близко к квартичной оценке.

Проверка. Размерность: \([6\mu_0 j_1j_2\ell^2/(I\pi d^5)]=\text{Н}/\text{А}^2\cdot\text{А}^2\text{м}^4\cdot\text{м}^2/(\text{кг}\cdot\text{м}^2\cdot\text{м}^5)=\text{Н}/(\text{кг}\cdot\text{м})=\text{с}^{-2}\), как у \(\omega^2\). Предельный случай: при \(d\to\infty\) \(\omega_{\text{маг}}^2\to0\), \(\omega\to\omega_1\) (отрезок прямой на рис. 4 — собственная частота); при \(d=d_{\text{комп}}\) \(\omega\to0\). Второй способ для \(j_1j_2\): \(B_r/(\mu_0\rho)=0{,}14\) А\(\cdot\)м\(^2\)/г при массе магнитов \(7{,}68\) г даёт \(j_1\approx1{,}06\) А\(\cdot\)м\(^2\), против найденного \(0{,}98\), то есть расхождение около \(8\,\%\) в пределах паспортных данных и краевых эффектов. Период \(T\propto1/A\) с коэффициентом \(0{,}198\) с\(\cdot\)рад даёт при \(A=10^\circ\) значение \(1{,}14\) с, в рисунке 8 — \(1{,}27\) с (разность из-за остатка квадратичного члена).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.