Цепочка из 2025 шарнирных стержней

Записывайте условие моментов для каждого стержня (или группы нижних стержней) относительно шарнира, начиная с первого, и смотрите, как меняется коэффициент при силе тяжести.

На первый стержень действуют сила тяжести, внешняя сила \(F\) и сила реакции шарнира. Условие моментов относительно шарнира даёт \[mg\,\frac{l}{2}\sin\alpha_1 = Fl\cos\alpha_1,\] где \(l\) — длина стержня, \(\alpha_1\) — угол между первым стержнем и вертикалью. Отсюда \[\operatorname{tg}\alpha_1 = \frac{2F}{mg}.\] Рассмотрим условие равновесия двух нижних стержней. Внешние силы на них — две силы тяжести, сила реакции второго шарнира и сила \(F\). Условие моментов относительно второго шарнира содержит плечо силы \(F\), большее плеча относительно первого шарнира на \(l\cos\alpha_2\), и плечи сил тяжести, большие на \(\dfrac{l}{2}\sin\alpha_2\) и \(l\sin\alpha_2\) соответственно. Первые слагаемые при этом совпадают с условием равновесия первого стержня, и в итоге остаётся \[\operatorname{tg}\alpha_2 = \frac{2F}{3mg}.\] Далее в знаменателе появляется нечётное число \(2k-1\), где \(k\) — номер стержня, угол наклона которого исследуется. Поэтому для 2025-го стержня \[\operatorname{tg}\alpha_{2025} = \frac{2F}{4049\,mg} .\]