Цикл, как цикл

Если \(dU = -\delta A_\text{газа}\), то \(\delta Q = 0\) — это адиабата; если \(dU = \delta A_\text{газа}\), то \(\delta Q = 2\,dU\) — политропа. Запишите уравнения обоих процессов в виде \(TV^n = \text{const}\); в логарифмических координатах они станут прямыми.

Первый метод

В процессах \(2-3\) и \(4-1\) подведённое к газу количество теплоты равно нулю, поэтому эти процессы — адиабатические, их уравнение в координатах \((T, V)\) имеет вид \[TV^{1/3} = \text{const}.\] Получим уравнение процессов \(1-2\) и \(3-4\). Пусть \(\Delta T\), \(\Delta V\) — бесконечно малые изменения температуры и объёма, тогда изменение внутренней энергии \[\Delta U = 3\nu R\Delta T,\] а работа газа \(\delta A = p\Delta V\), поэтому для процесса выполняется соотношение \[3\nu R\Delta T = \frac{\nu RT}{V}\Delta V.\] Сократив общие множители и разделяя переменные, получим \[3\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta V}{V},\] откуда после интегрирования найдём уравнение процесса \[TV^{-1/3} = \text{const}.\] Используя уравнение адиабаты для процесса \(4-1\), найдём объём газа в точке \(1\): \[T_1V_1^{1/3} = T_4V_4^{1/3},\] откуда с учётом значения температур \(T_1 = 2T_4 = 2T_0\) получим \(V_1 = V_0/8\). Аналогично с помощью уравнения процесса \(3-4\) \[T_3V_3^{-1/3} = T_4V_4^{-1/3},\] получим \(V_3 = 8V_0\). Запишем также уравнения для процессов \(1-2\) и \(2-3\): \[T_1V_1^{-1/3} = T_2V_2^{-1/3}, \qquad T_3V_3^{1/3} = T_2V_2^{1/3}.\] Разделив второе уравнение на первое и учтя равенство \(T_1 = T_3\): \[V_2^{2/3} = V_3^{1/3}V_1^{1/3} = V_0^{2/3},\] а значит, \(V_2 = V_0\). Тогда температура \(T_2 = T_1V_1^{-1/3}V_2^{1/3} = 4T_0\).

Второй метод

Будем решать в терминах \(TS\). В процессах \(2-3\) и \(4-1\) подведённое к газу количество теплоты равно нулю, поэтому эти процессы — адиабатические, в них сохраняется энтропия, поэтому \[S_2 = S_3 \quad\text{и}\quad S_1 = S_4.\] Найдём изменение энтропии в процессах \(1-2\) и \(3-4\): \[dS = \frac{\delta Q}{T} = \frac{2\,dU}{T} = 2\nu C_V\frac{dT}{T},\] \[S_2 - S_1 = 2\nu C_V\ln\frac{T_2}{T_1} = 2\nu C_V\ln\frac{T_3}{T_4} = S_3 - S_4.\] Получаем соотношение на температуры: \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_4}, \qquad T_2 = \frac{T_1T_3}{T_4}, \qquad T_2 = 4T_0.\]

Уравнение адиабаты в координатах \((p, V)\) имеет вид \(pV^{4/3} = \text{const}\), а значит, в логарифмических координатах график процесса — прямая \[\log_2\frac{p}{p_0} + \frac{4}{3}\log_2\frac{V}{V_0} = \text{const}.\] Аналогично уравнение процессов \(1-2\) и \(3-4\) в координатах \((p, V)\) получается из найденного в предыдущем пункте с помощью уравнения состояния \(pV/T = \text{const}\): \(pV^{2/3} = \text{const}\); в логарифмических координатах также получим прямые \[\log_2\frac{p}{p_0} + \frac{2}{3}\log_2\frac{V}{V_0} = \text{const}.\] Таким образом, достаточно вычислить координаты точек \(1\), \(2\), \(3\), \(4\). Объёмы уже найдены в предыдущем пункте. С помощью уравнения состояния получим \(p_1 = 16p_0\), \(p_2 = 4p_0\), \(p_3 = p_0/4\).

Тогда координаты граничных точек процессов в координатах \(\log_2\dfrac{V}{V_0}\) (абсцисса) и \(\log_2\dfrac{p}{p_0}\) (ордината) равны: \(1\,(-3,\ 4)\), \(2\,(0,\ 2)\), \(3\,(3,\ -2)\), \(4\,(0,\ 0)\). График процесса имеет вид параллелограмма.

Первый метод

На адиабатах теплота не отводится и не подводится. Для оставшихся двух процессов подведённое тепло \(Q = \Delta U + A\), причём, поскольку \(A = \Delta U\), выполняется \(Q = 2\Delta U = 2C_V\Delta T\), где \(C_V\) — теплоёмкость газа при постоянном объёме. Тогда на участке \(1-2\) подводится тепло \(Q_+ = 2C_V(T_2 - T_1) = 4C_VT_0\), а на участке \(3-4\) отводится тепло \(Q_- = 2C_V(T_3 - T_4) = 2C_VT_0\), поэтому КПД \[\eta = \frac{Q_+ - Q_-}{Q_+} = \frac{1}{2}.\]

Второй метод

Найдём зависимость \(T(S)\) для процессов \(1-2\) и \(3-4\): \[T_{3-4}(S) = T_4\exp\left(\frac{S - S_4}{2\nu C_V}\right),\] \[T_{1-2}(S) = T_1\exp\left(\frac{S - S_1}{2\nu C_V}\right) = 2T_{3-4}(S).\] Подставим в выражение для КПД: \[\eta = \frac{\int_{S_1}^{S_2} T_{1-2}\,dS - \int_{S_4}^{S_3} T_{3-4}\,dS}{\int_{S_1}^{S_2} T_{1-2}\,dS} = \frac{2\int_{S_4}^{S_3} T_{3-4}\,dS - \int_{S_4}^{S_3} T_{3-4}\,dS}{2\int_{S_4}^{S_3} T_{3-4}\,dS} = \frac{1}{2}.\]