Шарик и трамплин в ящике

Высота подъёма определяется энергией относительно центра масс, то есть полной энергией за вычетом \(P_0^2/(2(m+M))\). Подумайте, как меняются импульс и энергия системы после ударов о стенки.

\(H_2=H_1\).

После отрыва шарик и трамплин двигались с одинаковой горизонтальной скоростью. Обозначим её \(u\), а начальную скорость шарика \(v\).

Из закона сохранения горизонтальной компоненты импульса: \(P_0=(M+m)u\), где \(P_0\) — начальный импульс шарика, \(M\) и \(m\) — массы трамплина и шарика.

Высота подъёма шарика находится из закона сохранения энергии: \[mgH_1=\frac{mv^2}{2}-\frac{(m+M)u^2}{2}=E-\frac{P_0^2}{2(m+M)},\] где \(E\) — полная энергия системы.

После «приземления» шарика он получит скорость \(-v_1\), а трамплин \(u_1\), причём из закона сохранения импульса: \(Mu_1-mv_1=P_0\).

После упругих ударов о стенку скорости трамплина и шарика изменят свой знак — в итоге импульс их системы изменится на противоположный, а энергия останется прежней, в итоге высота подъёма шарика при втором столкновении с трамплином \[mgH_2=E-\frac{(-P_0)^2}{2(m+M)}=mgH_1.\]

Ответ: шарик поднимется на прежнюю высоту, \(H_2=H_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.