Воздушный шарик в сосуде с неоднородной температурой

Шарик плавает на любой глубине, пока его объём равен одному и тому же значению. Выразите объём воздуха через давление и температуру на дне и на глубине \(H/2\) и приравняйте.

\(\Delta P\approx 0{,}49\rho gH-0{,}0072P_0\).

Объём шарика практически состоит из объёма воздуха, зависящего от условий. Примем объём воздуха при давлении \(P_0\) и температуре \(T_0\approx 273\) К равным \(V\). При температуре \(T\) и давлении \(P\) объём воздуха находится из объединённого газового закона, так что полный объём шарика \[V_{\text{ш}}=\dfrac{VP_0T}{PT_0}.\] Температура на глубине \(h=H/2\): \(T\approx\dfrac{275}{273}T_0\).

Гидравлическое давление меняется с глубиной погружения в воду как \(P=P_a+\rho gh\), где \(P_a\) — искомое атмосферное давление.

Из закона Архимеда \(mg=\rho gV_{\text{ш}}\), где \(m\) — масса шарика, \(\rho\) — плотность воды. Отсюда следует, что объём шарика при изменении условий должен оставаться неизменным, то есть \[V\dfrac{P_0}{P_0+\rho gH}=V\dfrac{TP_0}{(T+2)(P_a+\rho gH/2)}\] или \[P_a\approx\dfrac{275}{277}P_0+\rho gH\dfrac{136{,}5}{277}.\] Вычтя из \(P_a\) величину \(P_0\), получаем ответ: \[\Delta P\approx 0{,}49\rho gH-0{,}0072P_0.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.