Шарик и закрывающаяся дверь

Найдите точку, где траектория шарика пересекает дугу, которую описывает край двери, и сравните времена, за которые до неё дойдут шарик и край двери.

\(u_{\min}=\dfrac{6v}{\pi}\).

Шарик должен попасть в точку \(C\) раньше, чем её достигнет край двери. Край двери движется к этой точке по дуге окружности радиуса, равного ширине двери \(h\). На неё опирается угол \(\angle AOC\). Треугольник \(OBC\) равносторонний, так что \(\angle AOC=90^\circ-\angle COB=30^\circ\). Длина дуги \(L=\dfrac{\pi h}{6}\).

Время движения края двери до точки \(C\): \(t=\dfrac{L}{v}=\dfrac{\pi h}{6v}\). Путь шарика \(AC=BC=h\). Время его движения до точки \(C\): \(t_1=\dfrac{h}{u}<t\), где \(u\) — скорость шарика. Из последнего неравенства получается условие \(u>\dfrac{6v}{\pi}\).

Убедимся, что после точки \(C\) движение шарика будет беспрепятственным. Предположим, что \(D\) — это текущая позиция шарика за точкой \(C\). Угол \(\angle COD\) увеличивается с угловой скоростью \[\omega=\dfrac{u\sin(\angle ODB)}{OD}>\dfrac{u\sin(\angle OCB)}{OC}>\dfrac{3\sqrt3\,v}{\pi h},\] что больше угловой скорости двери \(\omega_0=\dfrac{v}{h}\). В момент, когда шарик будет в точке \(D\), дверь повернётся на угол \(\angle COE<\angle COD\), займёт положение \(OE\) позади шарика и не помешает его движению.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.