Дрон догоняет ракету

Найдите ускорение ракеты из второго измерения. Затем сравните перемещение ракеты относительно дрона за один интервал с её отрывом в момент старта дрона и найдите, на каком по счёту интервале они встретятся.

\(5{,}2\tau\).

Предположим, что ускорение ракеты \(a\). Через интервал времени \(\tau\) после старта ракеты её скорость будет \(v_{p1}=a\tau\), а скорость стартовавшего дрона \(v_{dp1}=a\tau+u\). Через \(2\tau\) скорость ракеты будет \(v_{p2}=2a\tau\), измеренная её скорость относительно дрона будет \(v_2=a\tau-u\). Из последнего соотношения находим ускорение \(a=(u+v_2)/\tau\).

Во всех интервалах времени между включениями двигателя дрона скорость ракеты относительно него в начале интервала \(v_{\text{н}}=-u\), а в конце \(v_{\text{к}}=-u+a\tau=v_2\). Относительное перемещение ракеты в этих интервалах одинаково: \[S=-u\tau+\dfrac{a\tau^2}{2}=\dfrac{(v_2-u)\tau}{2}.\] До отправления дрона ракета прошла \(S_0=\dfrac{a\tau^2}{2}=\dfrac{(u+v_2)\tau}{2}\). Условие того, что дрон догонит ракету за время \(N\tau\): \[(u+v_2)\tau+(N-1)(v_2-u)\tau=0,\] откуда \(N=\dfrac{u+v_2}{u-v_2}+1=6\).

Но к этому моменту ракета будет иметь скорость, большую скорости дрона, и будет его догонять. Поскольку в начале пятого интервала дрон был позади ракеты, то их первая встреча произошла на этом промежутке. Относительное перемещение дрона и ракеты между искомым моментом их встречи (на приведённом графике скорости \(t_x\)) и моментом времени \(6\tau\) равно нулю. Значит, треугольники \(ABC\) и \(BDE\) на графике скорости имеют одинаковую площадь, и \(AC=DE=\dfrac{2}{3}u\). Поскольку \(A_1C_1=u\), то \(A_1B=\dfrac{3}{2}AB\), и \(A_1A=\dfrac{1}{5}A_1E=\tau\), поэтому дрон догонит ракету за время \(5{,}2\tau\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.