Случай на эскалаторе

Скорости друзей относительно своих эскалаторов пропорциональны пройденным ими числам ступенек. Запишите длину эскалатора двумя способами: через путь каждого из друзей относительно Земли и через путь Глюка при спуске.

Для упрощения формул используем нesистемные единицы: ступеньки для пути и ступеньки в секунду для скорости. К моменту встречи друзья шли по эскалаторам одинаковое время, поэтому отношение пройденных ими путей — это отношение их скоростей. Значит, Глюк идёт быстрее. Обозначим скорость Бага \(v\); тогда скорость Глюка в 3 раза больше: \(\dfrac{N_1 v}{N_2} = 3v\). Скорость эскалатора обозначим \(u\), время до встречи — \(t\).

Способ 1. Полное время движения Глюка по эскалатору \(t_Г = \dfrac{N_3}{N_1}\,t = \dfrac{3}{2}\,t\).

К моменту встречи Глюк прошёл путь \(N_1\), Баг — \(N_2\), а эскалаторы каждого из друзей успели переместить их на \(ut\), значит \(N = N_1 + N_2 + 2ut\). С другой стороны, когда Глюк дошёл до конца эскалатора, он преодолел расстояние \(N_3\), а его эскалатор сместил ступеньку, с которой начинал движение, на \(\dfrac{3}{2}ut\), поэтому \(N = N_3 + \dfrac{3}{2}ut\). Приравнивая правые части: \[N_1 + N_2 + 2ut = N_3 + \frac{3}{2}ut \quad\Rightarrow\quad ut = 2(N_3 - N_1 - N_2) = 48 \text{ ступенек}.\] То есть скорость эскалатора в точности равна скорости Бага: \(u = v\). Подставляя это значение, получаем \(N = 4N_3 - 3N_1 - 3N_2 = 288\) ступенек. За всё время движения Баг насчитает \[N_4 = \frac{Nv}{v + u} = \frac{Nv}{2v} = \frac{N}{2} = 144 \text{ ступенек}.\]

Способ 2. Путь Глюка относительно своего эскалатора до встречи: \(3vt = N_1\); путь Бага относительно своего эскалатора: \(vt = N_2\). Полный путь Глюка относительно своего эскалатора: \(3vt_Г = N_3\), откуда \(t_Г = \dfrac{3}{2}t\). Длину эскалатора запишем двумя способами: \(N = (3v + u)t + (v + u)t\) и \(N = (3v + u)t_Г\). Приравнивая и подставляя \(t_Г = \dfrac{3}{2}t\), получаем \(u = v\). Тогда \(N = 6vt = 6N_2 = 288\) ступенек, а Баг насчитает \(N_4 = \dfrac{Nv}{v + u} = \dfrac{N}{2} = 144\) ступеньки.