Задачи › Измерения и погрешности

Грешные приборы

  1. Грешные приборы

    ВсОШ 2024/25, 7 кл.
    4/10

    Ни один реальный прибор не даёт возможности провести измерения с совершенной точностью. Поэтому в физике вводится понятие абсолютной погрешности прибора (чаще всего её обозначают \(\Delta\)). Полученный результат измерений (назовём его \(A\)) следует понимать как интервал возможных значений. То есть реальное значение \(R\) измеряемой величины может быть любым в интервале \(A - \Delta \leqslant R \leqslant A + \Delta\).

    Два грузовых поезда движутся с постоянными скоростями по пересекающимся железнодорожным путям в направлении перекрёстка. При этом они оба находятся на расстоянии \(S = 7\) км от перекрёстка. Длина поездов одинакова: \(L = 1\) км. Считайте, что \(S\) и \(L\) измерены с очень высокой точностью.

    У локомотива первого поезда неисправен прибор для измерения скорости, поэтому машинист вынужден вычислять скорость, пользуясь подручными средствами. У него есть часы, которые позволяют измерить время с погрешностью \(\Delta\tau = 2\) с. Также он может определять пройденное расстояние, ориентируясь по столбам, которые установлены через каждые \(d = 200\) м вдоль путей, с погрешностью \(\Delta d = 10\) м. Он замерил время прохождения между двумя соседними столбами и получил значение \(\tau = 12\) с.

    Рисунок

    1. Исходя из данных, полученных машинистом первого поезда, определите, в каком диапазоне находится скорость его состава.

    2. Какую скорость (в км/ч) должен показывать исправный спидометр второго поезда, имеющий погрешность \(\Delta v = 1\) км/ч, чтобы на перекрёстке гарантированно не произошло столкновение?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Поезда не столкнутся, если один из них успевает полностью проехать перекрёсток раньше, чем к нему подойдёт второй. Рассмотрите крайние значения скорости первого поезда и учтите погрешность спидометра второго.

    Ответ

    1) \(v_1 \in [48{,}86;\ 75{,}60]\) км/ч, т.е. примерно от 49 до 76 км/ч; 2) \(v_2 < 41{,}75\) км/ч или \(v_2 > 87{,}40\) км/ч.

    Решение

    По замерам машиниста определим максимальную и минимальную возможную скорость первого поезда: \[v_{1max} = \frac{d + \Delta d}{\tau - \Delta\tau} = 21 \text{ м/с} = 75{,}60 \text{ км/ч} \approx 76 \text{ км/ч},\] \[v_{1min} = \frac{d - \Delta d}{\tau + \Delta\tau} \approx 13{,}57 \text{ м/с} \approx 48{,}86 \text{ км/ч} \approx 49 \text{ км/ч}.\]

    Чтобы поезда не столкнулись, должно выполняться одно из двух условий: а) к моменту подхода первого поезда к перекрёстку второй уже успел проехать; б) к моменту подхода второго поезда к перекрёстку первый уже успел проехать. Первое условие: \(\dfrac{S}{v_{1max}} > \dfrac{S + L}{v_2}\), откуда \(v_2 > \dfrac{S + L}{S}\,v_{1max}\). Второе условие: \(\dfrac{S + L}{v_{1min}} < \dfrac{S}{v_2}\), откуда \(v_2 < \dfrac{S}{S + L}\,v_{1min}\).

    С учётом погрешности спидометра, который показывает скорость в км/ч: \(v_2 - \Delta v > \dfrac{S + L}{S}\,v_{1max}\) или \(v_2 + \Delta v < \dfrac{S}{S + L}\,v_{1min}\). Подставляя числовые значения, получаем, что условию задачи удовлетворяют все \(v_2\), которые либо меньше 41,75 км/ч, либо больше 87,40 км/ч.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх