Задачи › Графики движения, путь как площадь

Средняя скорость

  1. Средняя скорость

    ВсОШ 2024/25, 7 кл.
    3/10

    Семиклассник, совершая поездку на дачу, через равные малые промежутки времени записывал путь, пройденный автомобилем. По этим данным он построил график зависимости пути \(S\) автомобиля от времени \(t\), который представлен на рисунке. Но начинающий экспериментатор забыл оцифровать оси пути и времени. При этом он точно помнит, что между моментами, когда средняя путевая скорость принимала максимальное и минимальное значения, прошёл ровно час, а средняя путевая скорость за последний час движения составила 50 км/ч.

    Рисунок

    Определите:

    1. цену деления по оси \(t\);

    2. цену деления по оси \(S\) (между сплошной и пунктирной линиями);

    3. время в пути;

    4. расстояние от дома до дачи;

    5. мгновенную скорость на 40-й минуте;

    6. во сколько раз минимальная мгновенная скорость движения меньше мгновенной скорости движения на последнем участке;

    7. среднюю скорость на середине пути.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Средняя скорость от начала движения — это наклон прямой из начала координат к точке графика. Максимум и минимум достигаются у касательных, проведённых из начала координат.

    Ответ

    1) \(10\) мин;  2) \(S_0 = 5\) км;  3) \(140\) мин (2 ч 20 мин);  4) \(105\) км;  5) \(90\) км/ч;  6) в \(9\) раз;  7) \(48{,}5\) км/ч.

    Решение

    Средняя путевая скорость — отношение пути ко времени, т.е. наклон прямой из начала координат к графику. Касательная, составляющая с осью времени наибольший угол (прямая \(OB\)), даёт \(v_{max}\); касательная с наименьшим углом (прямая \(OC\)) даёт \(v_{min}\).

    Рисунок

    По условию между этими моментами прошёл 1 час, следовательно, цена деления по оси времени — 10 минут. Пусть цена деления по оси пути — \(S_0\). По графику путь за последний час движения равен \(10S_0\). Так как средняя скорость за последний час равна 50 км/ч, получаем, что цена деления \(S_0 = 5\) км. Теперь оцифрованы обе оси, и можно ответить на 3-й и 4-й вопросы.

    Рисунок

    Время движения до дачи — 140 минут (2 часа 20 минут). Расстояние до дачи — 105 км.

    Мгновенные скорости на участках движения: первые 30 минут автомобиль ехал со скоростью \(v_1 = \dfrac{20 \text{ км}}{30 \text{ мин}} = 40\) км/ч; следующие 20 минут (1/3 часа) — со скоростью \(v_2 = \dfrac{(50 - 20) \text{ км}}{20 \text{ мин}} = 90\) км/ч. Далее за 60 минут (1 час) автомобиль проехал 10 км, поэтому его скорость \(v_3 = 10\) км/ч. Последние 30 минут (полчаса) автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч. Так как 40-я минута попадает на второй участок, мгновенная скорость на 40-й минуте равна 90 км/ч.

    Минимальная мгновенная скорость — на третьем участке, она равна 10 км/ч. Скорость на четвёртом участке 90 км/ч, отношение \(90 / 10 = 9\).

    Средняя скорость на первой половине пути. Половина пути составляет 52,5 км. Этот участок состоит из первого участка (путь 20 км, время 30 минут), второго участка (путь 30 км, время 20 минут) и ещё 2,5 км, которые автомобиль прошёл со скоростью 10 км/ч: \[\bar v_{1/2} = \frac{52{,}5 \text{ км}}{\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{2{,}5}{10}\right) \text{ ч}} = 48{,}5 \text{ км/ч}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх