Бусинка на нити между кольцами

Нить и кольца невесомы, значит, сила натяжения нити перпендикулярна стержням в каждой точке. Какую траекторию описывает бусинка, если длина нити фиксирована?

Так как нить и кольца невесомы и трения нет, нить в процессе движения бусинки перпендикулярна стержням. Пусть длина вертикального участка нити \(y\), горизонтального — \(x\). Тогда \(x + y = 3l\). В системе координат, оси которой совпадают со стержнями, траектория бусинки описывается функцией \(y = -x + 3l\), т.е. направлена под углом \(45^\circ\) к горизонту и пересекает вертикальный стержень на расстоянии \(3l\) от точки их соединения. Длина траектории равна \(\sqrt{2}\,l\).

Найдем ускорение бусинки. На нее действуют две силы натяжения и сила тяжести. Так как сумма сил натяжения перпендикулярна траектории, ускорение бусинки равно проекции ускорения свободного падения на направление траектории: \[a = \frac{\sqrt{2}}{2}\,g.\] Используя законы равноускоренного движения, \[\sqrt{2}\,l = \frac{a t^2}{2} = \frac{\sqrt{2}\,g\,t^2}{4} \quad\Rightarrow\quad t = 2\sqrt{\frac{l}{g}}.\]