Лифт

Нарисуйте график скорости от времени: путь — площадь под ним. Если лифт успевает разогнаться до \(v_0\), время подъёма линейно зависит от числа этажей. Для одного этажа проверьте, успевает ли он вообще набрать \(v_0\).

Лифт преодолевает необходимую дистанцию (\(n\) этажей высотой \(l_0\) каждый) за минимально возможное время \(t\), если разгоняется с ускорением \(a_0\) до скорости \(v_0\), далее двигается с постоянной скоростью \(v_0\) в течение времени \(t - 2v_0/a_0\) и тормозит до полной остановки за время \(v_0/a_0\).

Начертим соответствующий график скорости лифта от времени. Площадь под ним пропорциональна пройденному пути:

\[nl_0 = \frac{t + \left(t - \frac{2v_0}{a_0}\right)}{2}\,v_0.\] Откуда \[t(n) = \frac{nl_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0}.\] Однако эта формула верна лишь при \(t - 2v_0/a_0 > 0\), т. е. только в том случае, когда лифт успевает достичь максимальной скорости \(v_0\) по скорости. Это условие можно переписать в виде: \(n > \dfrac{v_0^2}{a_0 l_0}\).

Если лифт не успевает достичь максимальной скорости \(v_0\), то оптимальным по времени становится следующая стратегия зависимости скорости от времени. Необходимо половину времени ускоряться с \(a_0\) и половину времени замедляться с тем же по модулю ускорением. График зависимости скорости от времени представлен на рисунке.

В этом случае пройденный путь равен \[nl_0 = \frac{\frac{a_0 t}{2}\,t}{2}.\] Откуда \[t(n) = 2\sqrt{\frac{nl_0}{a_0}}.\] По условию, обе точки принадлежат случаю \(t(n) = \dfrac{nl_0}{v_0} + \dfrac{v_0}{a_0}\): \[\begin{cases} t_2 = \dfrac{2l_0}{v_0} + \dfrac{v_0}{a_0},\\[2mm] t_4 = \dfrac{4l_0}{v_0} + \dfrac{v_0}{a_0}. \end{cases}\] Тогда \[t_3 = \frac{3l_0}{v_0} + \frac{v_0}{a_0} = \frac{t_2 + t_4}{2} = 6{,}5\text{ с}.\] Из системы найдём \[n_\text{крит} = \frac{v_0^2}{a_0 l_0} = \frac{2(2t_2 - t_4)}{t_4 - t_2} = \frac43 > 1,\] то есть при подъёме на один этаж лифт не достигает максимально возможной скорости. Так что \[t_1 = 2\sqrt{\frac{l_0}{a_0}} = \sqrt{2(t_4 - t_2)(2t_2 - t_4)} = 2\sqrt3 \approx 3{,}5\text{ с}.\]