Вода и масло
Приборы и оборудование: две собранные установки, описание которых дано ниже; Масло подсолнечное вода, 2 шприца, стаканчики одноразовые, секундомер.
Плотность воды считать равной \(\rho_{0} = 1{,}00 \cdot 10^{3} \frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}\).
Часть 1. Сообщающиеся сосуды.
Эта часть работы выполняется на установке, показанной на рис. 1.
Две стеклянные трубки соединенные снизу резиновым шлангом закреплены на вертикально расположенном куске картона, рядом с трубками приклеены полоски миллиметровой бумаги. Трубки расположены под некоторыми различными углами к вертикали. Начала отсчета шкал также могут находиться не на одном уровне. С помощью шприцов (один для масла, второй для воды!}) в трубки можно доливать воду и масло.
Будьте аккуратны! Добавляйте воду и масло не спеша, постарайтесь поменьше его вылить на свою одежду! При необходимости вы можете слить жидкости из трубок, сняв всю установку со штатива!}
Теоретическое описание.
Пусть в обеих трубках находится вода. Обозначим высоты начал отсчета обеих шкал \(h_{10}, h_{20}\) (они вам неизвестны, да и не нужны!). С помощью шкал (полосок миллиметровой бумаги) вы можете (и должны) измерять длины столбиков воды в трубках \(l_{1}, l_{2}\). Обозначим \(h_{1}, h_{2}\) - высоты, измеренные по вертикали обоих столбиков. Очевидно, что
\[\begin{aligned} h_{1} &= k_{1} l_{1} \\ h_{2} &= k_{2} l_{2} \end{aligned}\tag{1}\]
где \(k_{1}, k_{2}\) - некоторые постоянные коэффициенты (они вам не известны, но могут понадобиться!).
1.1 Запишите условия равновесия воды в трубке, выразите из него зависимость длины столба \(l_{2}\) от длины столба \(l_{1}\) - \(l_{2}(l_{1})\).
1.2 Медленно добавляя воду в трубки, проведите измерения длин столбиков в обеих трубках. По полученным данным постройте график зависимости \(l_{2}(l_{1})\).
1.3 С помощью построенного графика определите отношение коэффициентов \(\frac{k_{1}}{k_{2}}\), которые входят в формулы (1).
Заполните трубки водой примерно наполовину. Теперь вам необходимо добавлять в одну из трубок подсолнечное масло. Во вторую трубку при необходимости можно добавлять воду. Но, прежде, чем вы начнете ...
Опять теоретическое описание.
Все прежние обозначения оставляем в силе и добавляем к ним \(\Delta l\) - длину столбика масла в трубке и \(\rho_1\) - плотность масла.
1.4 Запишите условия равновесия жидкостей в этом случае. Получите уравнение, связывающее длины столбиков воды, масла и их плотности. Это уравнение можно привести к виду
\[a l_1 + b l_2 = F(\Delta l),\tag{2}\]
где \(a, b\) - уже известные коэффициенты, \(F(\Delta l)\) - некоторая простая функция от длины столбика масла. Получите уравнение вида (2), так как оно позволяет достаточно просто определить плотность масла по экспериментальным данным.
1.5 Постепенно добавляя масло в одну трубку, проведите измерения величин \(l_1, l_2, \Delta l\).
1.6. Используя полученное уравнение (2) и экспериментальные данные определите плотность масла.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ равновесии давления на одном уровне равны: для воды равны высоты столбов (а не длины вдоль наклонных трубок), а масло добавляет давление \(\rho_1 g\,\Delta h\); постройте линейные графики и по наклону найдите нужные величины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1.3) \(k_1/k_2=0{,}865\pm0{,}08\); 1.4) \(\dfrac{k_1}{k_2}l_1-l_2=\dfrac{\rho_1}{\rho_0}\Delta l+\text{const}\); 1.6) \(\rho_1=(0{,}91\pm0{,}03)\cdot10^{3}\text{ кг/м}^3\).
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЗадача 9-1. «Вода и масло»
Часть 1. Сообщающиеся сосуды.
1.1 В сообщающихся высоты уровней жидкости в обоих коленах в состоянии равновесия равны, поэтому должно выполняться условие
\[h_{10} + k_1 l_1 = h_{20} + k_2 l_2.\tag{1}\]
Из этого условия следует, что
\[l_2 = \frac{h_{10} - h_{20}}{k_2} + \frac{k_1}{k_2} l_1.\tag{2}\]
1.2 В таблице 1 приведены результаты измерений длин столбиков воды в обеих трубках (проведены две серии измерений и объединены). График полученной зависимости показан на рисунке.
Таблица 1.
\(l_1\), мм \(l_2\), мм 14 18 46 45 72 68 89 82 120 109 148 133 194 175 45 44 64 60 85 78 119 107 151 135 168 150 190 169 Коэффициент наклона прямой, рассчитанный по методу наименьших квадратов\(^1\), оказался равным
\[a = 0{,}865 \pm 0{,}08\tag{2}\]
В соответствии с формулой (1) он равен отношению коэффициентов \(\frac{k_1}{k_2}\). Это значение будет использовано в дальнейших расчетах.
\(^{1}\) Для учащихся 9 классов использование МНК не обязательно, вполне достаточно провести графическую обработку результатов.
1.4 В состоянии равновесия суммарные давления жидкостей на нижнем уровне трубок будут равны, что выражается уравнением
\[\rho_{0}\left(h_{10}+k_{1} l_{1}\right)=\rho_{0}\left(h_{20}+k_{2} l_{2}\right)+k_{2} \rho_{1} \Delta l,\tag{3}\]
здесь \(\Delta l\) - длина столбика масла. Это уравнение легко преобразуется к виду, указанному в условии, если обе его части разделить на \(k_{2} \rho_{0}\) :
\[\rho_{0}\left(h_{10}+k_{1} l_{1}\right)=\rho_{0}\left(h_{20}+k_{2} l_{2}\right)+k_{2} \rho_{1} \Delta l \quad \Rightarrow\]
\[\frac{k_{1}}{k_{2}} l_{1}-l_{2}=\frac{\rho_{1}}{\rho_{0}} \Delta l+\frac{h_{20}-h_{10}}{k_{2}}\tag{4}\]
Теперь, если построить зависимость величины \(z=\frac{k_{1}}{k_{2}} l_{1}-l_{2}\)
от высоты столбика масла \(\Delta l\), то эта зависимость должна быть линейна, причем коэффициент наклона прямой равен отношению плотностей масла и воды.
1.5 Результаты проведенных измерений показаны в Таблице 2. График зависимости \(z(\Delta l)\) показан на рисунке.
Таблица 2.
\(l_{1}\), мм \(l_{2}\), мм \(\Delta l\), мм \(z\), мм 77 69 0 -2,40 100 44 52 42,50 115 27 83 72,48 135 6 126 110,78 150 -14 164 143,75 167 -32 194 176,46 Коэффициент наклона данного графика (рассчитанный по МНК) равен
\[a_{1}=\frac{\rho_{1}}{\rho_{0}}=0{,}91 \pm 0{,}03\tag{5}\]
Следовательно, плотность масла равна
\[\rho_{1}=a_{1} \rho_{0}=\left(0{,}91 \pm 0{,}03\right) \cdot 10^{3} \frac{\text{кг}}{\text{м}^{3}}.\tag{6}\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Гидравлический пресс Ведомственная 2011/12, заключительный этап, 9 кл.
- Ртуть, бензин и вода в сообщающихся сосудах Курчатов 2013/14, отборочный этап, 7 кл.
- Уровни ртути в U-образной трубке СПбГУ 2017/18, отборочный этап, 8–9 кл.
- Сообщающиеся сосуды с поршнями Росатом 2024/25, отборочный этап, 8 кл.
- Сообщающиеся сосуды разного сечения МОШ 2012/13, отборочный этап, 8 кл.
- Масло в сообщающихся сосудах МОШ 2012/13, отборочный этап, 8 кл.