Квадрат из шарнирных стержней

Запишите условия моментов для верхних и нижних стержней, найдите угол между стержнями, а затем условие сил для двух нижних стержней.

Пусть сила \(\vec F\), действующая со стороны верхнего стержня на нижний, направлена под углом \(\alpha\) к нижнему стержню (см. рисунок). Условие моментов для нижнего стержня относительно его нижней точки: \[Fl\sin\alpha = 2mg\,\frac{l}{2}\cos45^\circ.\] Здесь \(l\) — длина стержня. Для верхнего стержня условие моментов относительно его верхней точки: \[Fl\sin(90^\circ - \alpha) = mg\,\frac{l}{2}\cos45^\circ.\] Деля эти равенства друг на друга, получаем \(\operatorname{tg}\alpha = 2\), откуда \(\sin\alpha = \dfrac{2}{\sqrt5}\), \(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt5}\). Подставляя в одно из условий, находим \[F = \frac{\sqrt{10}}{4}\,mg.\] Условие сил для двух нижних стержней, на которые действуют сила тяжести \(4mg\), искомая сила натяжения веревки \(T\) и две силы \(F\) в шарнирах: \[T = 4mg - 2F\sin(\alpha - 45^\circ) = \frac{7}{2}\,mg.\]