Окружность и диаметр

Расстояние растет, пока проекции скоростей тел на прямую, соединяющую тела, имеют разные знаки. Что происходит с этой прямой, когда тело на окружности проходит четверть окружности?

Расстояние между двумя движущимися телами увеличивается, если проекции скоростей тел на прямую, соединяющую их, имеют разные знаки (или одинаковые знаки, но проекция скорости догоняющего тела меньше проекции скорости убегающего), и уменьшается в обратных случаях. Скорость тела, движущегося по диаметру, направлена вдоль диаметра, а второго — по касательной к окружности, и они одинаковы по величине. Поэтому до того момента, когда второе тело пройдет четверть окружности, проекции скоростей тел на соединяющую их прямую имеют разные знаки, и расстояние растет. После этого момента расстояние уменьшается, поскольку тело, движущееся по окружности, направлено под меньшим углом к соединяющей прямой. Следовательно, расстояние максимально, когда тело, движущееся по окружности, пройдет четверть окружности: \[t = \frac{\pi R}{2v}.\] За это время тело, движущееся по диаметру, пройдет кусок длиной \[x = vt = \frac{\pi R}{2}.\] Расстояние между телами в этот момент по теореме Пифагора \[S = \sqrt{\left(\frac{\pi R}{2} - R\right)^2 + R^2} = \frac{R}{2}\sqrt{(\pi - 2)^2 + 4}.\]