Бесконечная цепь приборов

Сопротивление бесконечной цепи не меняется, если отрезать одну ячейку: получите уравнение для него. Затем учтите, что падение напряжения на амперметре составляет треть от падения на последовательно соединенном с ним резисторе.

Найдем сопротивление цепи \(R_x\). Мысленно отрезая одну ячейку и требуя, чтобы оставшееся сопротивление было равно \(R_x\), получим уравнение \[R_x = 4r + \frac{1000r\cdot R_x}{1000r + R_x},\] которое сводится к квадратному \[R_x^2 - 4rR_x - 4000r^2 = 0.\] Выбирая положительный корень, находим \[R_x = 2r + \sqrt{4r^2 + 4000r^2} \approx 65r.\] Ток через источник совпадает с показанием первого амперметра: \[I_1 = \frac{U}{65r}.\] Напряжение на первом вольтметре \[U_1 = U - 4rI_1 = \frac{61}{65}\,U,\] значит, ко второму звену приложено такое напряжение, и показания второго амперметра в \(61/65\) раза меньше показаний первого: \[I_2 = \frac{61}{65}\,I_1 = \frac{61\,U}{65^2\,r}.\] Сумма токов через все вольтметры равна току через источник, поэтому сумма показаний вольтметров \[U_{сум} = 1000r\,(I_{1} + I_{2} + \dots) = 1000r\,I_1 = \frac{1000}{65}\,U \approx 15{,}4\,U.\] Сумма падений напряжения на амперметрах и резисторах равна напряжению источника. Падение напряжения на каждом амперметре составляет треть от падения на последовательно соединенном с ним резисторе, поэтому сумма падений напряжения на всех амперметрах составляет четверть напряжения источника: \[\sum_k I_k r = \frac{U}{4}, \qquad \text{откуда} \qquad I_{сум} = \sum_k I_k = \frac{U}{4r}.\]