Тень от головы прохожего

Постройте подобные треугольники: луч от фонаря через голову человека до земли. Выясните, как меняется положение тени головы.

Тень головы движется по прямой, параллельной тротуару, со скоростью \(v_{\text{Т}}=v\,\dfrac{H}{H-h}\), не зависящей от \(x\); график \(v_{\text{Т}}(x)\) — горизонтальная прямая.

9-1. Выберем систему отсчета с центром у основания фонаря. Пусть в некоторый момент проекция луча на землю образует угол \(\alpha\) с линией тротуара (вид сверху). Учитывая прямолинейность распространения света, можем записать

\[\frac{H}{l_{0}+\frac{l}{\sin \alpha}}=\frac{h}{l_{0}} \Rightarrow l_{0}=\frac{l}{\sin \alpha} \frac{h}{H-h}.\]

Тогда

\[y_{\text{Т}}=l+l_{0} \sin \alpha=l \frac{H}{H-h},\]

(\(y_{\text{Т}}\) - координата конца тени) есть величина постоянная! Следовательно, тень от головы движется по прямой параллельной оси X со скоростью

\[v_{\text{Т}}=v \frac{H}{H-h},\]

что легко получить, составив пропорцию

\[\frac{v t}{l}=\frac{v_{\text{Т}} t}{l \frac{H}{H-h}}.\]

График зависимости скорости тени от \(x\) есть прямая линия, параллельная оси абсцисс.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.