Стержень на двух нитях

На стержень действуют силы натяжения нитей \(T_1\), \(T_2\) и сила тяжести \(mg\), приложенная к центру стержня (стержень однородный). Пусть \(\theta_A\) — угол между нитью длиной \(l\) и стержнем у его конца \(A\), \(\theta_B\) — угол между нитью длиной \(2l\) и стержнем у конца \(B\). Условие равенства моментов сил относительно центра стержня даёт \[T_l\sin\theta_A = T_{2l}\sin\theta_B.\] С другой стороны, по теореме синусов для треугольника, образованного нитями и стержнем, \[\frac{2l}{\sin\theta_A} = \frac{l}{\sin\theta_B}.\] Деля эти соотношения, получаем \(T_{2l} = 2T_l\), т.е. силы натяжения пропорциональны длинам нитей: \(T_{2l} = k\cdot 2l\), \(T_l = k\cdot l\).

Из условия равновесия \(m\vec g + \vec T_1 + \vec T_2 = 0\) модуль суммы сил натяжения равен \(mg\). Угол между нитями у точки подвеса \(\varphi\) по теореме косинусов для треугольника «нити–стержень» (стороны \(l\), \(2l\) и \(3l/2\)) удовлетворяет \[\left(\frac{3}{2}l\right)^2 = l^2 + 4l^2 - 4l^2\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad \cos\varphi = \frac{11}{16}.\] Поэтому \[m^2g^2 = T_l^2 + T_{2l}^2 + 2T_lT_{2l}\cos\varphi = k^2l^2\left(1 + 4 + 4\cdot\frac{11}{16}\right) = \frac{31}{4}\,k^2l^2,\] откуда \(k = \dfrac{2mg}{\sqrt{31}\,l}\). Отсюда \(T_{2l} = \dfrac{4}{\sqrt{31}}mg\), \(T_l = \dfrac{2}{\sqrt{31}}mg\).