Два соленоида и частица

Сопротивление провода пропорционально его длине, а длина пропорциональна радиусу (число витков и длина соленоидов одинаковы). Поэтому сопротивление меньшего соленоида втрое меньше, и при параллельном соединении ток в нём втрое больше, чем в большем соленоиде. Пусть \(I\) — ток в большем соленоиде, \(n\) — число витков на единицу длины. Тогда внутри малого соленоида \(B_1 = \mu_0 n\cdot 4I\), а в пространстве между соленоидами \(B_2 = \mu_0 nI\).

Из-за осевой симметрии центр окружности частицы лежит на общей оси. Магнитный поток через окружность радиуса \(r\) (где \(R<r<3R\)): \[\Phi = \pi R^2\cdot 4\mu_0 nI + \pi\,(r^2 - R^2)\,\mu_0 nI = \pi\mu_0 nI\,(r^2 + 3R^2).\] Вихревое электрическое поле на окружности касательно к ней и одинаково по модулю во всех точках, поэтому ЭДС индукции равна \(2\pi r E\). Закон электромагнитной индукции с учётом \(dI/dt = \alpha/x\), где \(x\) — сопротивление большего соленоида (ток \(I = U/x = \alpha t/x\)), даёт \[2\pi r E = \pi\mu_0 n\,\frac{\alpha}{x}\,(r^2+3R^2), \qquad a_\tau = \frac{qE}{m} = \frac{\mu_0 n\alpha q\,(r^2+3R^2)}{2rxm}.\] Так как ускорение постоянно по модулю, скорость частицы \[v = a_\tau t = \frac{\mu_0 n\,\alpha t\,q\,(r^2+3R^2)}{2rxm} = \frac{\mu_0 n I q\,(r^2+3R^2)}{2rm}.\] С другой стороны, частица движется по окружности радиуса \(r\) в магнитном поле \(B_2 = \mu_0 nI\): \(\dfrac{mv^2}{r} = qvB_2\), откуда \(r = \dfrac{mv}{qB_2}\). Подставляя скорость, \[r = \frac{r^2 + 3R^2}{2r}\quad\Rightarrow\quad r^2 = 3R^2, \qquad r = \sqrt{3}\,R.\]