Гистерезис

Пока намагниченность постоянна, контур колеблется как обычный \(LC\)-контур. Намагниченность переворачивается при \(|H|=H_0\), то есть при токе \(I_0=H_0\ell/N\), а пока она переворачивается, \(H\) не меняется — ток постоянен, и конденсатор разряжается линейно. Каждый переворот отнимает у контура одну и ту же энергию.

a) \(\Delta I=I_{\mathrm i}\left(\sqrt{1-\dfrac{8\ell^2H_0M_0}{N^2I_{\mathrm i}^2}}-1\right)\approx-\dfrac{4\ell^2H_0M_0}{N^2I_{\mathrm i}}=-\dfrac{4I_{\mathrm i}H_0M_0}{H(I_{\mathrm i})^2}\);  b) \(I_{\max}=I_0=\dfrac{H_0\ell}{N}\);  c) \(\Delta t_{\max}=2\sqrt{LC\,\dfrac{M_0}{H_0}}=2\sqrt{\dfrac{\mu_0N^2\pi R^2\,C\,M_0}{\ell H_0}}\), \(L=\dfrac{\mu_0N^2\pi R^2}{\ell}\).

Что происходит. Пока намагниченность сердечника постоянна, цепь — обычный \(LC\)-контур, в котором энергия сохраняется. Но по ходу колебаний поле \(H\) доходит до \(\pm H_0\), и сердечник перемагничивается: \(M\) меняет знак, а \(H\) при этом не меняется, потому что кривая гистерезиса вертикальна. Значит, ток на это время постоянен, а конденсатор разряжается равномерно. Энергия, отданная сердечнику за каждое перемагничивание, всегда одна и та же — она равна площади прямоугольника петли, умноженной на объём. Отсюда амплитуда тока ступенчато убывает, пока оставшейся энергии не станет не хватать на полный переворот. Главная идея: считать потери за переворот через площадь петли и отдельно рассмотреть, как долго длится переворот при заданном напряжении на конденсаторе.

Обозначения. \(A=\pi R^2\) — площадь витка, \(H=NI/\ell\) — напряжённость поля в соленоиде. Токи направлены так, что \(I>0\) соответствует \(H>0\). Индуктивность соленоида при постоянной \(M\) (тогда \(dB/dt=\mu_0\,dH/dt\)): \[L=\frac{\mu_0N^2A}{\ell}.\] \(U_C\) — напряжение на конденсаторе, \(U_L\) — напряжение на соленоиде. Уравнения контура (сопротивления нет): \[I=C\frac{dU_C}{dt},\qquad U_L=NA\frac{dB}{dt}=-U_C .\] Критический ток, при котором \(|H|\) доходит до \(H_0\): \[I_0=\frac{H_0\ell}{N}.\]

Рис. 2. Контур: конденсатор \(C\) (плюс на нижней обкладке, куда втекает ток \(I\)) и соленоид с ферромагнитным сердечником; \(U_L\) — падение напряжения на соленоиде по направлению тока.

a) Разность максимальных токов за одно колебание.

Фаза A. В начале \(I=I_{\mathrm i}\), \(U_C=0\), намагниченность \(M=+M_0\) (точка на верхней горизонтали петли справа). Пока \(H>-H_0\), \(M\) не меняется и контур колеблется как \(LC\)-контур; энергия сохраняется: \[\frac12LI_{\mathrm i}^2=\frac12LI^2+\frac12CU_C^2 .\] Ток убывает, проходит через нуль и достигает значения \(I=-I_0\), то есть \(H=-H_0\) — левого верхнего угла петли. К этому моменту напряжение на конденсаторе \(U_1=\sqrt{L/C}\sqrt{I_{\mathrm i}^2-I_0^2}\).

Фаза B: перемагничивание. При \(H=-H_0\) намагниченность начинает меняться от \(+M_0\) к \(-M_0\) (левая вертикаль петли). Пока она меняется, \(H\) остаётся равным \(-H_0\), поэтому ток постоянен: \(I=-I_0\). Напряжение на соленоиде при \(dH/dt=0\) равно \(U_L=NA\mu_0\,dM/dt\), и \(U_C=-U_L\). Из \(I=C\,dU_C/dt\) напряжение на конденсаторе линейно убывает: \[U_C(t)=U_1-\frac{I_0}{C}\,t ,\] а намагниченность \[M(t)=M_0-\frac1{NA\mu_0}\int_0^tU_C\,dt'=M_0-\frac1{NA\mu_0}\left(U_1t-\frac{I_0}{2C}t^2\right).\] Перемагничивание заканчивается при \(M(\Delta t)=-M_0\): \[U_1\Delta t-\frac{I_0}{2C}\Delta t^2=2NA\mu_0M_0.\tag{1}\]

Потеря энергии за одно перемагничивание. Конденсатор потерял энергию \[\frac12C\left(U_1^2-U_2^2\right)=\frac12C(U_1-U_2)(U_1+U_2),\qquad U_2=U_1-\frac{I_0\Delta t}{C}.\] Подставим \(U_1-U_2=I_0\Delta t/C\) и \(U_1+U_2=2U_1-I_0\Delta t/C\): \[\frac12C\left(U_1^2-U_2^2\right)=I_0\left(U_1\Delta t-\frac{I_0}{2C}\Delta t^2\right)=2NA\mu_0I_0M_0=2A\ell\mu_0H_0M_0 ,\] где использовано (1) и \(NI_0=H_0\ell\). Величина \(\Delta W=2A\ell\mu_0H_0M_0\) не зависит от напряжения \(U_1\) (пока перемагничивание завершается полностью) — это энергия, поглощённая сердечником. Её можно получить и иначе: мощность в соленоиде \(P=U_LI=\mu_0A\ell H\left(\frac{dH}{dt}+\frac{dM}{dt}\right)\), и за перемагничивание при \(H=-H_0\) сердечник поглощает \(\mu_0A\ell\int H\,dM=\mu_0A\ell\,(-H_0)(-2M_0)=\Delta W\).

Рис. 3. Путь точки \((H,M)\) за первый период (в единицах \(H_0\) и \(M_0\) при \(I_{\mathrm i}=4I_0\)): бирюзовые участки — фаза A, чёрные — перемагничивание B. Повторные проходы по горизонталям петли сдвинуты на \(0{,}12\) вверх и вниз только для наглядности.

Продолжение. После переворота \(I=-I_0\), \(U_C=U_2>0\), а \(M=-M_0\): точка на нижней горизонтали петли. Так как \(dI/dt=-U_C/L<0\), ток продолжает расти по модулю, колебание в \(LC\)-контуре идёт дальше, ток достигает отрицательного максимума \(-I_2'\) в момент \(U_C=0\), возвращается, проходит нуль и доходит до \(I=+I_0\) (правый нижний угол петли). Там происходит второе перемагничивание (\(-M_0\to+M_0\)) с такой же потерей \(\Delta W\), после которого ток растёт до очередного положительного максимума \(I_2\), где \(U_C=0\). Одно полное колебание — два перемагничивания.

Энергия. Оба раза, когда \(U_C=0\), вся энергия контура — в катушке: \(\tfrac12LI_{\mathrm i}^2\) в начале и \(\tfrac12LI_2^2\) через период. Между ними фазы A энергию сохраняют, фазы B забирают по \(\Delta W\): \[\frac12L\left(I_{\mathrm i}^2-I_2^2\right)=2\Delta W=4A\ell\mu_0H_0M_0 .\] Подставим \(L=\mu_0N^2A/\ell\) (площадь \(A\) сокращается): \[I_2^2=I_{\mathrm i}^2-\frac{8A\ell\mu_0H_0M_0}{L}=I_{\mathrm i}^2-\frac{8\ell^2H_0M_0}{N^2}.\] Искомая разность максимальных токов \[\boxed{\Delta I=I_2-I_{\mathrm i}=I_{\mathrm i}\left(\sqrt{1-\frac{8\ell^2H_0M_0}{N^2I_{\mathrm i}^2}}-1\right)\approx-\frac{4\ell^2H_0M_0}{N^2I_{\mathrm i}}=-4I_{\mathrm i}\frac{H_0M_0}{H(I_{\mathrm i})^2}}\] (приближение — при \(H(I_{\mathrm i})=NI_{\mathrm i}/\ell\gg H_0\) и \(M_0\sim H_0\), \(\sqrt{1-x}\approx1-x/2\)).

Обратите внимание: «одно колебание» — полный период, между двумя соседними положительными максимумами тока; за него сердечник перемагничивается дважды и контур теряет \(2\Delta W\). До ближайшего отрицательного максимума \(-I_2'\) (полпериода) потеря вдвое меньше.

b) Максимальный ток после многих колебаний. Пока амплитуда тока больше \(I_0\), в каждом периоде происходят два перемагничивания, и каждое отнимает \(\Delta W\). Напряжение \(U_1\) в начале перемагничивания при этом убывает (\(U_1^2=(L/C)(I^2_{\text{ампл}}-I_0^2)\)). Когда оно становится меньше \(\sqrt{2\Delta W/C}\), энергии конденсатора на полный переворот не хватает: к моменту, когда \(U_C\) дойдёт до нуля, сердечник перемагничен лишь частично. После этого \(dM/dt=-U_C/(NA\mu_0)=0\) и перемагничивание останавливается, ток в этот момент равен \(-I_0\), а напряжение на конденсаторе — нулю: контур оказывается в состоянии \(LC\)-колебаний с максимальным током \(I_0\).

В дальнейшем \(H\) только достигает \(\pm H_0\) в моменты максимума тока, когда \(U_C=0\) и \(dM/dt=0\). Поэтому намагниченность больше не меняется, потерь нет, и колебания идут с постоянной амплитудой (точка \((H,M)\) ходит по горизонтали внутри петли между \(-H_0\) и \(H_0\)): \[\boxed{I_{\max}=I_0=\frac{H_0\ell}{N}}.\] Меньше \(I_0\) амплитуда не станет: ниже \(I_0\) нет перемагничиваний, значит, нет потерь. Выше \(I_0\) она не остаётся: при любой амплитуде больше \(I_0\) в моменты \(I=\pm I_0\) напряжение конденсатора ненулевое и перемагничивание отнимает энергию.

Рис. 4. Ток \(I(t)\) по результатам расчёта при \(L=C=1\), \(I_0=1\), \(I_{\mathrm i}=4\) и потере \(\Delta W=1{,}4\,LI_0^2\) на одно перемагничивание: длительности полных перемагничиваний растут (в единицах \(\sqrt{LC}\): \(0{,}38\); \(0{,}43\); \(0{,}50\); \(0{,}62\); \(0{,}95\)), шестое не завершается, и контур продолжает колебаться с амплитудой \(I_0\).

c) Максимальная длительность фазы B. Фаза A — гармоническое колебание в \(LC\)-контуре, фаза B — перемагничивание при постоянном токе \(|I|=I_0\). Фаза A может длиться бесконечно (финальные колебания с амплитудой \(I_0\)), а каждая фаза B ограничена. Найдём наибольшую длительность одной фазы B.

Полное перемагничивание. Из (1) наименьший корень уравнения \[\frac{I_0}{2C}\Delta t^2-U_1\Delta t+2NA\mu_0M_0=0\] (меньший, потому что \(M\) достигает \(-M_0\) в первый же раз): \[\Delta t=\frac C{I_0}\left(U_1-\sqrt{U_1^2-\frac{4NA\mu_0I_0M_0}{C}}\right).\] Корень вещественен, если \(U_1\ge U_{\min}\), где \[U_{\min}=2\sqrt{\frac{NA\mu_0I_0M_0}{C}}=\sqrt{\frac{2\Delta W}{C}} .\] При \(U_1<U_{\min}\) полное перемагничивание невозможно, и конденсатор разрядится раньше, чем \(M\) дойдёт до \(-M_0\): напряжение \(U_C=U_1-I_0t/C\) обратится в нуль за время \[\Delta t=\frac{CU_1}{I_0}.\]

Зависимость от \(U_1\). При \(U_1\ge U_{\min}\) производная \[\frac{d\,\Delta t}{dU_1}=\frac C{I_0}\left(1-\frac{U_1}{\sqrt{U_1^2-U_{\min}^2}}\right)<0 ,\] длительность убывает с ростом \(U_1\): чем больше напряжение, тем быстрее идёт переворот. При \(U_1<U_{\min}\) длительность \(CU_1/I_0\) растёт с \(U_1\). В точке \(U_1=U_{\min}\) оба выражения совпадают, и длительность максимальна: \[\Delta t_{\max}=\frac{CU_{\min}}{I_0}=2\sqrt{\frac{NA\mu_0CM_0}{I_0}} .\] Выразим через \(L\) и \(I_0=H_0\ell/N\): \(NA\mu_0/I_0=\mu_0N^2A/(\ell H_0)=L/H_0\), откуда \[\boxed{\Delta t_{\max}=2\sqrt{LC\,\frac{M_0}{H_0}}=2\sqrt{\frac{\mu_0N^2\pi R^2\,C\,M_0}{\ell H_0}}} .\]

Рис. 5. Длительность перемагничивания в единицах \(CU_{\min}/I_0\) в зависимости от напряжения на конденсаторе в его начале: слева (линейный рост) оно не завершается, справа завершается и убывает; максимум — при \(U_1=U_{\min}\).

Оптимальный \(I_{\mathrm i}\). Первое перемагничивание начинается при напряжении \(U_1=\sqrt{L/C}\sqrt{I_{\mathrm i}^2-I_0^2}\); приравняем его \(U_{\min}\) и выразим \(C U_{\min}^2/L=4\ell^2H_0M_0/N^2\): \[I_{\mathrm i}^2=I_0^2+\frac{4\ell^2H_0M_0}{N^2}\quad\Longrightarrow\quad I_{\mathrm i}=\frac{H_0\ell}{N}\sqrt{1+\frac{4M_0}{H_0}} .\] При таком токе конденсатор разряжается как раз в момент, когда сердечник перемагничен полностью. Годится и любой ток \(I_{\mathrm i}^2=I_0^2+n\cdot4\ell^2H_0M_0/N^2\) (\(n=1,2,\ldots\)): тогда первые \(n-1\) перемагничиваний отнимут по \(\Delta W\), и ровно с напряжения \(U_{\min}\) начнётся \(n\)-е; длительность \(\Delta t_{\max}\) от этого не меняется.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{LC}\) — время, \(M_0/H_0\) безразмерно. Предел \(U_1\to\infty\) в (1): \(\Delta t\to2NA\mu_0M_0/U_1\to0\) — при очень большом напряжении переворот мгновенный, ток постоянен лишь на бесконечно короткое время, и колебание почти не искажено, кроме потери \(\Delta W\) в энергии. Второй способ для a): за период теряется площадь \(4H_0M_0\) петли — \(\oint H\,dM=4H_0M_0\), умноженная на \(\mu_0A\ell\), то же \(4A\ell\mu_0H_0M_0\). Смысл: ток теряет за период тем меньше, чем сильнее он превышает \(I_0\) (\(\Delta I\propto1/I_{\mathrm i}\)), а конечное состояние — колебания на пороге перемагничивания.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.