Прыгун

Пока концы стержней на полу, вся энергия пружины идёт в кинетическую энергию, а центр масс разгоняется вверх. Пол отпускает систему, когда его сила обращается в нуль, то есть когда вертикальная скорость центра масс максимальна; дальше центр масс летит как брошенная материальная точка.

\(h=\dfrac{3k}{4mg}\sin^2\theta_0\left(\dfrac{\pi^2}{4}-\theta_0^2\right)\approx0{,}780\,\dfrac{k}{mg}\), где угол отрыва \(\theta_0\approx0{,}987\) (\(56{,}5^\circ\)) — корень уравнения \(\theta_0\tan\theta_0=\pi^2/4-\theta_0^2\).

Что происходит. Движение прыгуна делится на две стадии. Сначала, пока концы стержней стоят на полу, пружина разгибает систему: шарнир движется вверх, концы скользят по полу навстречу друг другу, центр масс разгоняется вверх. Потом пол перестаёт давить на концы, система отрывается и дальше свободно летит под действием одной силы тяжести. Главная идея: пока идёт отталкивание, вся энергия пружины переходит в кинетическую (гравитацией при \(k\gg mg\ell\) можно пренебречь), а момент отрыва — это момент, когда сила реакции пола обращается в нуль, то есть вертикальная скорость центра масс максимальна. Высота прыжка определяется только поступательной частью энергии в момент отрыва.

Обозначения. Ось \(y\) вертикальна, ось \(x\) лежит вдоль пола. Система симметрична относительно вертикальной плоскости через шарнир, поэтому достаточно рассмотреть один стержень. \(H\) — шарнир, \(A\) — конец на полу, \(C\) — центр стержня, \(F\) — точка на полу под шарниром. Тогда \(H=(0,\ell\cos\theta)\), \(A=(-\ell\sin\theta,0)\), \(C=\bigl(-\tfrac\ell2\sin\theta,\tfrac\ell2\cos\theta\bigr)\), угол \(\theta\) отсчитан от вертикали. Центр масс всей системы лежит на оси симметрии на высоте \[y^*=\frac\ell2\cos\theta .\] Начало отсчёта высоты — пол: в начальном состоянии (\(\theta=\pi/2\)) \(y^*=0\).

Рис. 2. Один стержень при отталкивании: конец \(A\) скользит по полу, шарнир \(H\) движется по вертикали, центр \(C\) описывает дугу радиуса \(\ell/2\) вокруг точки \(F\) (пунктир — пройденная часть); \(v^*_\uparrow\) и \(v^*_\rightarrow\) — составляющие скорости центра стержня, \(\omega=\dot\theta\).

1. Скорость центра масс и кинетическая энергия.

Центр масс. Скорость центра масс системы вертикальна: \(v^*=\dot y^*=-\tfrac\ell2\sin\theta\,\dot\theta\) (угол \(\theta\) уменьшается, \(\dot\theta<0\), скорость вверх).

Кинетическая энергия одного стержня. Скорости концов направлены вдоль связей: шарнир движется по вертикали, конец на полу — по горизонтали. Мгновенный центр вращения \(O\) лежит в пересечении перпендикуляров к этим скоростям: на вертикали через \(A\) и на горизонтали через \(H\), то есть \(O=(-\ell\sin\theta,\ \ell\cos\theta)\). Четырёхугольник \(OAFH\) — прямоугольник, диагонали \(AH\) (стержень) и \(OF\) равны \(\ell\) и делятся пополам в точке \(C\), поэтому \(OC=\ell/2\). Стержень в данный момент поворачивается вокруг \(O\) с угловой скоростью \(|\dot\theta|\).

Рис. 3. Мгновенный центр вращения \(O\) стержня: пересечение перпендикуляров к скоростям \(\vec v_A\) (горизонтальна) и \(\vec v_H\) (вертикальна); \(OC=CF=\ell/2\).

Момент инерции стержня относительно \(O\) по теореме Штейнера: \[I_O=\frac{m\ell^2}{12}+m\left(\frac\ell2\right)^2=\frac{m\ell^2}{3}.\] Кинетическая энергия стержня \(\tfrac12I_O\dot\theta^2=m\ell^2\dot\theta^2/6\), обоих стержней \[W_k=\frac{m\ell^2\dot\theta^2}{3}.\] Проверка вторым способом (теорема Кёнига): скорость центра стержня \(\ell\dot\theta/2\), момент инерции относительно центра \(m\ell^2/12\) и та же угловая скорость: \[\frac12m\left(\frac{\ell\dot\theta}2\right)^2+\frac12\cdot\frac{m\ell^2}{12}\dot\theta^2=\frac{m\ell^2\dot\theta^2}{6}.\]

2. Закон сохранения энергии при отталкивании. Энергия упругой деформации пружины при угле \(2\theta\) между стержнями равна работе момента \(\tau=2k\theta\) при изменении угла от нуля до \(2\theta\): \[W_{\text{упр}}=\int_0^{\theta}2k\theta'\cdot2\,d\theta'=2k\theta^2 .\] Силы реакции пола вертикальны, а концы стержней движутся по горизонтали, поэтому работы они не совершают; трения нет. Изменение потенциальной энергии в поле тяжести не больше \(2mg\cdot\ell/2=mg\ell\ll k\), и его не учитываем. Тогда вся высвобожденная энергия пружины переходит в кинетическую: \[2k\left(\frac{\pi^2}{4}-\theta^2\right)=\frac{m\ell^2\dot\theta^2}{3}\quad\Longrightarrow\quad\dot\theta^2=\frac{6k}{m\ell^2}\left(\frac{\pi^2}{4}-\theta^2\right).\tag{1}\]

Второй способ — динамика. Относительно оси, проходящей через \(O\), момент создаёт только пружина (\(-2k\theta\)): реакция пола вертикальна и проходит через \(O\) (та же вертикаль, что у \(A\)), реакция шарнира горизонтальна и проходит через \(O\) (та же горизонталь, что у \(H\)), момент силы тяжести малый. Тогда \(I_O\ddot\theta=-2k\theta\): \[\ddot\theta=-\omega^2\theta,\qquad\omega^2=\frac{6k}{m\ell^2},\qquad\theta(t)=\frac\pi2\cos\omega t ,\] гармонические колебания с начальными условиями \(\theta(0)=\pi/2\), \(\dot\theta(0)=0\). Из \(\dot\theta^2=\omega^2(\pi^2/4-\theta^2)\) получается то же уравнение (1).

3. Момент отрыва. Уравнение движения центра масс системы по вертикали: \(2m\ddot y^*=2N-2mg\), где \(N\) — реакция пола на каждый конец. Ускорения при отталкивании порядка \(k/(m\ell)\gg g\), поэтому \(g\) можно отбросить: \(m\ddot y^*=N\). Реакция \(N\ge0\) (пол только толкает) и обращается в нуль, когда \(\ddot y^*=0\), то есть вертикальная скорость центра масс максимальна. Подставим \(y^*=\tfrac\ell2\cos\theta\): \[\ddot y^*=-\frac\ell2\bigl(\cos\theta\,\dot\theta^2+\sin\theta\,\ddot\theta\bigr)=0 .\] Выразим \(\dot\theta^2\) из (1) и \(\ddot\theta=-\omega^2\theta\): \[\left(\frac{\pi^2}{4}-\theta^2\right)\cos\theta-\theta\sin\theta=0\quad\Longleftrightarrow\quad\theta_0\tan\theta_0=\frac{\pi^2}{4}-\theta_0^2 .\] Это уравнение не решается в элементарных функциях; решим методом половинного деления. Функция \(f(\theta)=\left(\frac{\pi^2}{4}-\theta^2\right)\cos\theta-\theta\sin\theta\) положительна при \(\theta=0\) (\(f=\pi^2/4\)) и отрицательна при \(\theta=\pi/2\) (\(f=-\pi/2\)), значит, корень лежит в \([0;\pi/2]\). Пока \(f>0\), \(N>0\): пол давит; при \(f<0\) реакция должна была бы быть отрицательной, а такой не бывает — система отрывается.

Интервал сузился до \([0{,}9863;\,0{,}9879]\), то есть до трёх значащих цифр: \(\theta_0=0{,}987\) рад \(\approx56{,}5^\circ\) (точное значение \(0{,}98687\)).

Рис. 4. Функция \(f(\theta)=(\pi^2/4-\theta^2)\cos\theta-\theta\sin\theta\): левее корня \(\theta_0\) реакция пола положительна, правее была бы отрицательной.

4. Скорость центра масс при отрыве. Из выражения \(v^*=\tfrac\ell2\sin\theta\,|\dot\theta|\) и (1): \[v^*=\frac12\sin\theta_0\sqrt{\frac{6k}{m}}\sqrt{\frac{\pi^2}{4}-\theta_0^2}=\frac12\cdot0{,}8343\cdot\sqrt6\cdot1{,}2221\sqrt{\frac km}\approx1{,}249\sqrt{\frac km}.\] На рисунке 5 зависимость \(v^*(\theta)\) при ходе процесса справа налево: растёт от нуля при \(\theta=\pi/2\) до максимума \(1{,}249\sqrt{k/m}\) при \(\theta_0\) и потом убывает — но к этому моменту система уже в воздухе.

Рис. 5. Скорость центра масс \(v^*=\frac{\sqrt6}2\sin\theta\sqrt{\pi^2/4-\theta^2}\sqrt{k/m}\) как функция \(\theta\). Максимум — в точке \(\theta_0\) (момент отрыва).

5. Полёт. После отрыва внешней силой остаётся только тяжесть, поэтому центр масс движется как материальная точка, брошенная вверх со скоростью \(v^*\); вращение стержней и колебания пружины на движение центра масс не влияют. Из закона сохранения энергии для центра масс (\(2m\) — масса системы): \[\frac{2m\,v^{*2}}{2}=2mg\,(h-y^*_0)\quad\Longrightarrow\quad h=y^*_0+\frac{v^{*2}}{2g},\] где \(y^*_0=\frac\ell2\cos\theta_0\approx0{,}276\,\ell\) — высота центра масс в момент отрыва. Поскольку \(k\gg mg\ell\), \(y^*_0\ll h\) (отношение \(0{,}276\,\ell/h\approx0{,}35\,mg\ell/k\)), и им можно пренебречь: \[h\approx\frac{v^{*2}}{2g}=\frac{3k}{4mg}\sin^2\theta_0\left(\frac{\pi^2}{4}-\theta_0^2\right)=1{,}040\cdot\frac{3k}{4mg}.\] Итого: \[\boxed{h\approx0{,}780\,\frac{k}{mg}} .\]

Рис. 6. Этапы прыжка (схема не в масштабе): стержни плашмя, отрыв при \(\theta_0\) со скоростью центра масс \(v^*\), верхняя точка на высоте \(h\) над начальным положением центра масс.

Обратите внимание: к моменту отрыва в поступательное движение центра масс перешла только часть кинетической энергии. Стержни продолжают вращаться и после отрыва, поэтому по формуле \(h=W_k/(2mg)\) высоту найти нельзя: она даст завышенное значение, потому что в \(W_k\) входит и энергия вращения. Правильно брать только поступательную энергию центра масс \(m v^{*2}\).

Проверка. Размерность: \(k\) имеет размерность энергии, \(k/(mg)\) — длина. Доля энергии пружины, перешедшая в поступательное движение: \(mv^{*2}=\tfrac32k\sin^2\theta_0\left(\tfrac{\pi^2}{4}-\theta_0^2\right)=1{,}56\,k\) при полной кинетической энергии \(2k\left(\tfrac{\pi^2}{4}-\theta_0^2\right)=2{,}99\,k\) — чуть больше половины, остальное осталось во вращении стержней. Предельные случаи: при \(\theta=\pi/2\) и \(\theta=0\) скорость \(v^*\) равна нулю, максимум между ними, как на рисунке 5. Смысл: чем жёстче пружина, тем выше прыжок (\(h\propto k\)), а тяжелее система — тем ниже (\(h\propto1/m\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.