Хоккей на сухом льду

Если плита достаточно горячая, лёд под шайбой сублимирует, и пар приподнимает шайбу на тонкую газовую подушку: трение резко падает. Чем горячее плита, тем толще подушка (меньше трение) и тем быстрее испаряется лёд. Максимум пути — там, где время вязкого торможения шайбы сравнивается со временем испарения льда.

a) \(\Delta T_c\sim\dfrac{R T_s^2}{\mu\lambda p_0}\dfrac{Mg}{\pi r^2}\approx 40\) мК;  b) \(\Delta T_m\sim\dfrac{\eta\rho\lambda hr^2}{\kappa M}\approx 9\) К, \(L_{\max}\sim v\left(\dfrac{\rho}{\mu\eta^2}\dfrac{RT_s}{p_0}\dfrac{M^2h}{gr^2}\right)^{1/4}\approx 1{,}5\) м — порядка метра (максимум формулы (1) — \(1{,}1\) м при \(\Delta T\approx4\) К).

Что происходит. Если плита лишь чуть теплее льда, шайба лежит на ней, и сухое трение быстро её останавливает: \(L\) мало и не зависит от \(\Delta T\). Когда плита нагрета выше порога \(\Delta T_c\), лёд на нижней поверхности начинает сублимировать, газ подпирает шайбу, и она скользит на тонкой газовой подушке; трение теперь вязкое и намного меньше. С ростом \(\Delta T\) подушка толще, вязкое трение слабее, и смещение растёт; но лёд при этом испаряется быстрее, и когда он весь испарится, металлический диск ложится на плиту и сухое трение его останавливает. Поэтому у \(L(\Delta T)\) есть максимум. Главная идея: сравнить два времени — время вязкого торможения \(\tau_v\) и время испарения льда \(\tau_s\) — и найти \(\Delta T\), при котором они равны.

Обозначения. \(T_s=194{,}65\) К. Масса льда \(m=\pi r^2h\rho\approx0{,}47\) г \(\ll M\), поэтому вес шайбы — это \(Mg\). Плотность газа \(\mathrm{CO_2}\) при температуре \(T_s\) и давлении \(p_0\): \(\rho_g=\mu p_0/(RT_s)\approx2{,}7\) кг/м\(^3\). \(d\) — толщина газового зазора между плитой и льдом. Все оценки — с точностью до числовых множителей порядка единицы (\(\pi\), 2, 3 опускаем).

a) Критическая разность температур.

Условие сублимации. Сублимация на нижней поверхности льда возможна, только если давление газа в зазоре равно давлению насыщенного пара при температуре поверхности. При \(\Delta T\) чуть больше \(\Delta T_c\) зазор ещё очень узок, газ почти не изолирует лёд от плиты, и температура нижней поверхности льда близка к температуре плиты \(T_s+\Delta T_c\). Значит, давление в зазоре равно \(p_{\text{нас}}(T_s+\Delta T_c)=p_0+\Delta p_c\).

Рис. 2. Шайба на пороге сублимации (зазор \(d\) сильно увеличен). Избыточное давление \(\Delta p_c\) в газе под льдом уравновешивает вес шайбы.

Давление и вес. Избыточное давление газа \(\Delta p_c\) действует на нижнюю поверхность шайбы площадью \(\pi r^2\) и должно уравновесить вес \(Mg\) (масса льда \(0{,}5\) г в 20 раз меньше \(M\)): \[\pi r^2\Delta p_c=Mg\quad\Longrightarrow\quad\Delta p_c=\frac{Mg}{\pi r^2}\approx318\ \text{Па},\qquad\frac{\Delta p_c}{p_0}\approx3\cdot10^{-3}\ll1 .\]

Клапейрон — Клаузиус. Так как \(\Delta p_c\ll p_0\), а \(RT_s/(\mu\lambda)\approx0{,}06\), малое приращение температуры связано с малым приращением давления линейно: \(dp_{\text{нас}}/dT\) можно считать равным значению при \(T_s\), \(p_0\): \[\frac{\Delta p_c}{\Delta T_c}\approx\frac{\mu\lambda p_0}{RT_s^2}.\] Отсюда \[\boxed{\Delta T_c\approx\frac{RT_s^2}{\mu\lambda p_0}\cdot\frac{Mg}{\pi r^2}\approx\frac{8{,}3\cdot194{,}65^2}{0{,}044\cdot6\cdot10^5\cdot10^5}\cdot318\ \text{К}\approx0{,}04\ \text{К}=40\ \text{мК}.}\] Без множителя \(\pi\) получилось бы \(\approx120\) мК — тот же порядок.

Почему нет сублимации сверху. На границе лёд — металлический диск газового слоя нет: чтобы он там был, нужна разность температур по льду \(\Delta T_{\text{лёд}}\approx T_s\,\dfrac{RT_s}{\mu\lambda}\,\dfrac{\rho gh}{p_0}\approx2\) мК (давление газа сверху должно быть меньше давления снизу на \(\rho gh\approx15\) Па). Градиент температуры в тонком зазоре \(\Delta T/d\) намного больше градиента в льду \(\Delta T_{\text{лёд}}/h\), поэтому тепловой поток вверх через лёд пренебрежимо мал по сравнению с потоком через зазор: на верхней поверхности энергии для испарения нет.

b) Максимальное смещение.

Два времени. Если шайба движется, пока она на газовой подушке, она тормозится вязким трением о газ (время \(\tau_v\)) и останавливается; если лёд испарится раньше (время \(\tau_s\)), диск упадёт на плиту и остановится от сухого трения. Тогда \[L=\int_0^{\tau_s}v\,e^{-t/\tau_v}\,dt=v\tau_v\left(1-e^{-\tau_s/\tau_v}\right).\tag{1}\] Найдём \(\tau_s\) и \(\tau_v\) как функции \(\Delta T\) и толщины зазора \(d\), а потом саму толщину \(d\).

1. Время испарения льда. Температура газа в зазоре меняется от \(T_s+\Delta T\) у плиты до \(T_s\) у льда. Тонкий слой газа успевает прийти в стационарное состояние, а тепловое сопротивление металла и льда несравненно меньше сопротивления газа (\(\kappa_{\text{мет}},\kappa_{\text{лёд}}\gg\kappa\)), поэтому профиль линейный, градиент \(\Delta T/d\) и тепловой поток через газ \[q\sim\frac{\kappa\Delta T}{d}.\] Весь поток идёт на сублимацию на нижней поверхности льда (площадь \(\pi r^2\)); сублимацией на боковой поверхности можно пренебречь. Скорость испарения \[\dot m\sim\frac{q\,\pi r^2}{\lambda}\sim\frac{\kappa}{\lambda}\,\Delta T\,\frac{r^2}{d}.\tag{2}\] Время испарения всего льда массой \(\pi r^2h\rho\): \[\tau_s\sim\frac{r^2h\rho}{\dot m}\sim\frac{\rho\lambda}{\kappa}\,\frac{hd}{\Delta T}.\tag{3}\] Температура нижней поверхности льда равна \(T_s+\Delta T_c\), а \(\Delta T_c\ll\Delta T\), поэтому разность температур на зазоре в (2) можно считать равной \(\Delta T\).

Рис. 3. Зазор между плитой и льдом: тепловой поток \(q\) идёт вверх, газ, образовавшийся при сублимации, вытекает наружу радиально; \(u(z)\) — профиль скорости течения у края (зазор \(d\) сильно увеличен).

2. Толщина зазора. Газ, возникающий при сублимации, должен вытекать из-под шайбы. Скорость вытекания \(u\) найдём двумя способами и приравняем.

Сохранение массы. Весь газ, образующийся под шайбой, за то же время выходит через боковую поверхность зазора, площадь которой \(\sim rd\): \[\dot m\sim\rho_g\,u\,rd\quad\Longrightarrow\quad u\sim\frac{\dot m}{\rho_g rd}\sim\frac{\kappa}{\lambda}\,\frac{RT_s}{\mu p_0}\,\frac{r}{d^2}\,\Delta T,\tag{4}\] где использовано (2) и \(\rho_g=\mu p_0/(RT_s)\). Температура газа в зазоре близка к \(T_s\) (\(\Delta T\ll T_s\)), поэтому плотность считаем постоянной.

Течение Пуазёйля. Зазор тонкий, \(d\ll r\), и число Рейнольдса течения мало, поэтому газ течёт как вязкая жидкость между двумя плоскостями: скорость определяется балансом градиента давления и вязкого трения о стенки. Если перепад давления на длине \(r\) равен \(\Delta p\), то характерная скорость \[u\sim\frac{\Delta p}{\eta}\,\frac{d^2}{r}.\tag{5}\] Давление под шайбой по-прежнему должно держать её вес: \(\Delta p\sim Mg/r^2\) (теперь оно убывает от центра к краю, где равно нулю). Подставим в (5): \[u\sim\frac{Mg}{\eta}\,\frac{d^2}{r^3}.\tag{6}\] Приравняем (4) и (6) и выразим \(d\): \[d\sim r\left(\frac{\eta\kappa}{\mu\lambda}\,\frac{RT_s}{p_0}\,\frac{\Delta T}{Mg}\right)^{1/4}.\tag{7}\] При \(\Delta T=9\) К получаем \(d\approx15\) мкм. Проверка применимости: \(d\ll r\); длина свободного пробега молекул \(\mathrm{CO_2}\) \(\sim6\cdot10^{-8}\) м много меньше \(d\); число Рейнольдса \(\rho_gud/\eta\approx10\), но в тонком слое важно \(\rho_gud^2/(\eta r)\approx0{,}015\ll1\), течение пуазёйлевское (\(u\approx2\) м/с из (4)).

3. Вязкое торможение. Если шайба движется со скоростью \(v\), поверх радиального течения газ получает линейное сдвиговое течение \(u_2(z)=vz/d\): на плите газ неподвижен, у льда движется вместе с шайбой. Это возможно, так как течение при малом числе Рейнольдса описывается линейным уравнением, и решения складываются. Сила вязкого трения на нижней поверхности шайбы \[F\sim\eta\,\frac{v}{d}\,r^2 ,\] уравнение движения шайбы \[M\frac{dv}{dt}\approx-\eta\frac{r^2}{d}\,v\quad\Longrightarrow\quad v(t)=v\,e^{-t/\tau_v},\qquad\tau_v\sim\frac{Md}{\eta r^2}.\tag{8}\]

Рис. 4. Шайба скользит со скоростью \(v\): газ в зазоре движется по линейному профилю \(u_2(z)=vz/d\), сила вязкого трения \(\vec F\) тормозит шайбу (зазор \(d\) увеличен).

Режим низких температур. Если лёд хватает надолго, \(\tau_s\gg\tau_v\), то шайба останавливается вязким торможением и \[L_1\sim v\tau_v\sim\frac{Mvd}{\eta r^2}\propto\Delta T^{1/4}\tag{9}\] (по (7) \(d\propto\Delta T^{1/4}\)). С ростом \(\Delta T\) смещение растёт.

Режим высоких температур. Если лёд исчезает быстрее, \(\tau_s\ll\tau_v\), скорость шайбы за время \(\tau_s\) почти не меняется, и \[L_2\sim v\tau_s\sim v\,\frac{\rho\lambda}{\kappa}\,\frac{hd}{\Delta T}\propto\Delta T^{-3/4}.\tag{10}\] Здесь смещение убывает с ростом \(\Delta T\).

Рис. 5. Скорость шайбы \(v(t)/v\) при трёх значениях \(\Delta T\) (расчёт по формулам (3), (7), (8) с коэффициентами, равными единице). Точки — момент, когда лёд испарился и шайба ложится на плиту. При \(2\) К лёд живёт \(\sim470\) с и шайба успевает почти остановиться (\(v(t)/v\approx0{,}01\)); при \(9\) К времена равны (\(\tau_s=\tau_v\approx150\) с); при \(40\) К лёд исчезает за \(\sim50\) с, и шайба сохраняет \(80\,\%\) скорости.

4. Максимум. \(L_1\) растёт, а \(L_2\) убывает с \(\Delta T\), поэтому \(L(\Delta T)\) максимально там, где оба режима сходятся: \(\tau_s\sim\tau_v\). Из (3) и (8): \[\frac{\rho\lambda}{\kappa}\frac{hd}{\Delta T_m}\sim\frac{Md}{\eta r^2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Delta T_m\sim\frac{\eta\rho\lambda hr^2}{\kappa M}=\frac{10^{-5}\cdot1500\cdot6\cdot10^5\cdot10^{-3}\cdot10^{-4}}{10^{-2}\cdot10^{-2}}\ \text{К}\approx9\ \text{К}}.\] Толщина зазора \(d\) из этого равенства выпала: \(\Delta T_m\) от неё не зависит. \(\Delta T_m\gg\Delta T_c\), как мы предполагали, и \(\Delta T_m\ll T_s\), поэтому свойства газа при \(T_s\) использовать можно.

Подставим \(\Delta T_m\) в (7), а затем в (9): \[d(\Delta T_m)\approx15\ \text{мкм},\qquad L_{\max}\sim\frac{Mv\,d}{\eta r^2}=v\left(\frac{\rho}{\mu\eta^2}\,\frac{RT_s}{p_0}\,\frac{M^2h}{g\,r^2}\right)^{1/4}\approx\frac{0{,}01\cdot0{,}01\cdot1{,}5\cdot10^{-5}}{10^{-5}\cdot10^{-4}}\ \text{м}\approx1{,}5\ \text{м}.\] Тот же результат даёт \(L_2(\Delta T_m)\) — по построению \(\Delta T_m\) обе оценки совпадают. У организаторов по той же формуле \(1{,}7\) м; разница около \(10\,\%\) идёт от округления постоянных и для оценки несущественна.

Уточнение формулой (1). Подставив \(\tau_s\) и \(\tau_v\) из (3) и (8), получаем \[L(\Delta T)=L_1(\Delta T)\left(1-e^{-\Delta T_m/\Delta T}\right),\] что при \(\Delta T\ll\Delta T_m\) даёт \(L_1\), а при \(\Delta T\gg\Delta T_m\) — \(L_2\). Её наибольшее значение (функция \(x^{1/4}\bigl(1-e^{-1/x}\bigr)\), \(x=\Delta T/\Delta T_m\)) достигается при \(x\approx0{,}43\), то есть \(\Delta T\approx4\) К, и равно \(0{,}73\,L_1(\Delta T_m)\approx1{,}1\) м: точный максимум лежит чуть левее точки пересечения асимптот и чуть ниже её, но это тот же порядок, а большей точности оценка с опущенными множителями порядка единицы и не даёт. Итог: \[\boxed{L_{\max}\sim1\ \text{м}}\quad(\text{оценка }1{,}5\ \text{м, уточнённый максимум }1{,}1\ \text{м}).\]

Рис. 6. Смещение \(L\) в зависимости от \(\Delta T\) (двойной логарифмический масштаб, расчёт по формуле (1) с перепадом \(\Delta T-\Delta T_c\) на зазоре). При \(\Delta T<\Delta T_c\) шайба лежит на плите и \(L\) мало (уровень условный); чуть выше \(\Delta T_c\) появляется подушка и \(L\) почти скачком (пунктир) вырастает до десятых долей метра; дальше — режим \(L_1\propto\Delta T^{1/4}\), при \(\Delta T\gg\Delta T_m\) — спад \(L_2\propto\Delta T^{-3/4}\). Кружок — пересечение асимптот при \(\Delta T_m\approx9\) К на уровне \(1{,}5\) м (оценка), точка — максимум формулы (1), \(1{,}1\) м при \(4\) К.

Проверка. Размерность: \(\eta\rho\lambda hr^2/(\kappa M)\) — (Па\(\cdot\)с)(кг/м\(^3\))(Дж/кг)(м)(м\(^2\))/((Вт/(м\(\cdot\)К))(кг)) = К, а \(\sqrt[4]{\cdots}\) в (7) — безразмерно. Предел \(\Delta T\to\Delta T_c\): перепад температур на зазоре \(\Delta T-\Delta T_c\to0\), по (7) зазор \(d\to0\), шайба снова ложится на плиту — это скачок на рисунке 6. Смысл: путь наибольший, когда лёд живёт примерно столько же, сколько длится вязкое торможение (\(\tau_s\sim\tau_v\)): испарится раньше — шайба не успеет проехать свой путь, позже — она к тому времени уже остановилась.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.