Кольцо с зазором в поле

Разрезанное кольцо можно представить как суперпозицию целого кольца, равномерно заряженного с линейной плотностью заряда \(\lambda = \dfrac{Q}{2\pi R}\), и прикреплённого к нему в точке \(A\) точечного заряда \(q = -\lambda l = -\dfrac{Ql}{2\pi R}\). После включения электрического поля кольцо начнёт поворачиваться вокруг оси так, что точка \(A\) будет двигаться в направлении точки \(B\), которая лежит на линии, проходящей через точку \(O\) параллельно силовым линиям \(\vec E\) (см. рис. 3.16).

В этой точке угловая скорость кольца и будет максимальной. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии плоскость, проходящую через точку \(B\) перпендикулярно к силовым линиям. Так как потенциал \(\varphi\) в однородном электростатическом поле линейно убывает с расстоянием при движении в направлении вдоль силовых линий, то закон сохранения механической энергии для вращения кольца можно записать в виде: \[\dfrac{mv^2}{2} = q(\varphi_A - \varphi_B) = -\dfrac{Ql}{2\pi R}\cdot(-ER) = \dfrac{QlE}{2\pi},\] где \(v\) — максимальная линейная скорость точек кольца. Отсюда искомая максимальная угловая скорость кольца \(\omega = \dfrac{v}{R} = \sqrt{\dfrac{QlE}{\pi mR^2}}\).