Шарик между плоскостями

Из условия понятно, что процесс циклический. Найдём время между двумя последовательными отскоками шарика от нижней плоскости. Для начала проверим, долетает ли шарик до верхней плоскости.

1) Если \(v_0 \leqslant \sqrt{2gH}\), то шарик не ударяется о верхнюю плоскость, и средняя сила, действующая на эту плоскость со стороны шарика, равна нулю: \(F_{\text{в1}} = 0\). Время полёта шарика легко вычислить из соотношения: \(0 = v_0T - (gT^2/2)\). Отсюда \(T = 2v_0/g\) (понятно, что решение \(T = 0\) не подходит). Поскольку средняя сила \(F_{\text{сред}} = \Delta p/\Delta t\), то в данном случае для нижней плоскости она равна \(F_{\text{н1}} = 2mv_0/T = mg\).

2) Если \(v_0 > \sqrt{2gH}\), то шарик долетает до верхней плоскости с ненулевой скоростью. Найдём время \(\tau\), которое затрачивает шарик на полёт от нижней плоскости до верхней: \(H = v_0\tau - (g\tau^2/2)\). Отсюда \[\tau_1 = \dfrac{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2gH}}{g}\quad\text{и}\quad\tau_2 = \dfrac{v_0 + \sqrt{v_0^2 - 2gH}}{g}.\] Понятно, что нас интересует время \(\tau_1\), поскольку \(\tau_2\) — это время, которое шарик затратил бы на то, чтобы вначале подняться до максимальной высоты без соударения с верхней плоскостью, а затем опуститься обратно до высоты \(H\). Поскольку при достижении высоты \(H\) скорость шарика равна \(v_H = \sqrt{v_0^2 - 2gH}\), а время, которое он затрачивает на один цикл «нижняя плоскость — верхняя плоскость — нижняя плоскость», равно \(2\tau_1\), то теперь можно вычислить средние силы, действующие на плоскости: \[F_{\text{н2}} = \dfrac{2mv_0}{2\tau_1} = mg\dfrac{v_0}{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2gH}},\] \[F_{\text{в2}} = \dfrac{2mv_H}{2\tau_1} = mg\dfrac{\sqrt{v_0^2 - 2gH}}{v_0 - \sqrt{v_0^2 - 2gH}}.\] Видно, что разность этих средних сил, как и в первом случае, равна \(mg\).