Частица в поле, растущем с расстоянием

Вдоль границы частица движется равномерно, а в направлении, перпендикулярном границе, сила пропорциональна смещению, то есть возникают гармонические колебания. Сколько времени занимает путь от входа до выхода из области поля?

Направим ось \(Y\) вглубь области поля, ось \(X\) вдоль границы. Сила \(ma_y = -\beta y\) (при \(E = \beta y\)) даёт гармонические колебания с частотой \(\omega = \sqrt{\beta/m}\) и периодом \(T = 2\pi/\omega\). Максимальная глубина проникновения \(L_1\) — амплитуда колебаний, поэтому начальная скорость вдоль \(Y\): \(v\sin\alpha = \omega L_1\). Частица выходит из области через половину периода, \(t = T/2 = \pi/\omega\), и смещается вдоль границы на \(L_2 = v\cos\alpha\cdot\dfrac{\pi}{\omega}\). Тогда \[\operatorname{tg}\alpha = \frac{v\sin\alpha}{v\cos\alpha} = \frac{\omega L_1}{\omega L_2/\pi} = \pi\,\frac{L_1}{L_2}.\] При \(L_2 = 2L_1\) получаем \(\operatorname{tg}\alpha = \pi/2 \approx 1{,}57\).