Шарик в звёздной пыли

В системе отсчёта шарика пылинки налетают со скоростью \(v\). За время \(t\) на шарик налетает масса пыли, заполняющая цилиндр сечения \(\pi R^2\) и длины \(vt\). Сила со стороны пыли уравновешивает силу тяжести.

В системе отсчёта, связанной с шариком, пылинки налетают на него со скоростью \(v\). Отлетающие импульсы в сумме дают ноль по симметрии сферы, поэтому сила, действующая на шарик со стороны пыли, равна секундному импульсу налетающей пыли: \(F = \rho S v^2\), где \(S = \pi R^2\) — площадь поперечного сечения шарика (масса пыли в цилиндре \(\rho S v t\), её импульс за \(t\) передаётся шарику). Сила тяжести уравновешивает эту силу (равномерное движение): \[F = \frac{\alpha}{r^2}\,\pi R^2 v^2 = G\,\frac{m_{\text{пл}} M}{r^2}.\] Расстояние \(r\) сокращается, и \[m_{\text{пл}} = \frac{\pi\,\alpha\,R^2 v^2}{G\,M}.\]