Полоса магнитного поля

Радиусы и периоды обратно пропорциональны индукции. Угол \(\alpha\), на который поворачивается скорость на границе, связан с отношением времён: время в области пропорционально углу поворота, делённому на угловую скорость.

Радиусы \(R_1 = \dfrac{mv}{qB_1}\), \(R_2 = \dfrac{mv}{qB_2}\), периоды \(T_1 = \dfrac{2\pi m}{qB_1}\), \(T_2 = \dfrac{2\pi m}{qB_2}\); их отношение \(R_2/R_1 = B_1/B_2 = 1/k\), где \(k = B_2/B_1 = 3\).

Пусть \(\alpha\) — угол между скоростью частицы и границей \(MN\) (угол поворота скорости в дуге до границы). В области 1 частица проходит две симметричные дуги с углом \(\alpha\) каждая (до границы и после выхода из области 2), поэтому \(t_1 = 2\alpha\,\dfrac{m}{qB_1}\). В области 2 дуга имеет угол \(2(\pi - \alpha)\), поэтому \(t_2 = 2(\pi - \alpha)\,\dfrac{m}{qB_2}\). Отношение времён \[\frac{t_1}{t_2} = \frac{\alpha}{\pi - \alpha}\cdot k = n = 6 \quad\Rightarrow\quad \alpha = \frac{n\pi}{k + n} = \frac{2\pi}{3}.\] Ширина полосы и расстояние до границы: \(L = 2(R_1 - R_2)\sin\alpha\), \(S = R_1(1 - \cos\alpha)\). Тогда \[\frac{L}{S} = 2\left(1 - \frac{R_2}{R_1}\right)\frac{\sin\alpha}{1 - \cos\alpha} = 2\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{4\sqrt{3}}{9} \approx 0{,}77.\]