Стрельба из лука

Скорость стрелы найдите из закона сохранения энергии с учётом КПД. Затем запишите уравнения движения по горизонтали и по вертикали и исключите время полёта.

Начальная скорость стрелы из условия \(\dfrac{mv^2}{2} = \eta A\): \(v = \sqrt{\dfrac{2\eta A}{m}}\). Горизонтальная и вертикальная компоненты скорости равны \(v_x = v\cos\alpha\) и \(v_y = v\sin\alpha\). Если стрела, вылетающая на высоте \(h\) выше центра мишени, летит время \(t\), то \[v\cos\alpha \cdot t = L, \qquad v\sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2} = -h .\] Отсюда \(\cos\alpha = \dfrac{L}{vt}\), \(\sin\alpha = \sqrt{\dfrac{v^2t^2 - L^2}{v^2t^2}}\). Подставляя во второе уравнение и решая его относительно \(t^2\), получаем уравнение четвёртой степени по \(t\), квадратное относительно \(t^2\): \[\frac{g^2t^4}{4} - (hg + v^2)\,t^2 + (h^2 + L^2) = 0 .\] Положительные корни дают времена \(t_1 \approx 10{,}8\) с и \(t_2 \approx 3{,}8\) с. Тогда Вова может пустить стрелу под двумя разными углами \(\alpha_1\) и \(\alpha_2\): \(\cos\alpha_1 \approx 0{,}3\), \(\cos\alpha_2 \approx 0{,}9\).