Три шарика на шарнирных стержнях

Стержни невесомы, значит, силы натяжения в них в сумме дают ноль, и модули натяжений равны. Перейдите в систему отсчёта, связанную с точкой соединения стержней, и запишите второй закон Ньютона для каждого шарика вдоль его стержня.

Поскольку стержни и точка их соединения невесомы, \(\vec T_1 + \vec T_2 + \vec T_3 = 0\). Углы между любыми двумя стержнями равны, поэтому \(|\vec T_1| = |\vec T_2| = |\vec T_3| = T\). Расположим оси \(x\) и \(y\) так, как показано на рисунке, и перейдём в систему отсчёта, связанную с точкой соединения стержней. Ускорение этой точки обозначим \(a\). Баланс сил для шариков в проекции на соответствующие стержни: \[T_1 = ma_x\cos\frac{\pi}{6} - ma_y\cos\frac{\pi}{3}, \quad T_2 = -2ma_x\cos\frac{\pi}{6} - 2ma_y\cos\frac{\pi}{3}, \quad T_3 = 3ma_x + 3m\,\frac{v_0^2}{L} .\] Решая систему относительно \(T_1 = T_2 = T_3\), \(a_x\), \(a_y\), получим \(T = \dfrac{6}{11}\dfrac{mv_0^2}{L}\). Тогда ускорения шариков массами \(m\), \(2m\), \(3m\): \[a_1 = \frac{6}{11}\frac{v_0^2}{L}, \quad a_2 = \frac{3}{11}\frac{v_0^2}{L}, \quad a_3 = \frac{2}{11}\frac{v_0^2}{L}.\] Подставляя числа, получаем \(a_1 \approx 7{,}3\) м/с\(^2\), \(a_2 \approx 3{,}6\) м/с\(^2\), \(a_3 \approx 2{,}4\) м/с\(^2\).