Колесо телеги

Если центр телеги проедет по кругу некоторого радиуса, то одно из колёс (оказавшееся внутри) пройдёт меньшее расстояние, а второе — большее. Если обозначить радиус окружности, по которой поехал центр телеги, за \(R\), а ширину телеги за \(d\), то расстояния, пройденные внутренним колесом, центром и внешним колесом, будут соотноситься как \((R-d/2):R:(R+d/2)\). Если колесо проехало некоторое расстояние \(S\), то чем меньше радиус колеса \(r\), тем больше ему пришлось совершить оборотов. Поэтому число оборотов колеса пропорционально отношению \[N\sim\dfrac Sr. \tag{1}\] Вооружившись этой информацией, рассмотрим несколько случаев. Случай 1. Пусть в первом случае бракованное колесо оказалось при движении внутренним. Тогда количества оборотов каждого из колёс удовлетворяют соотношениям \[N_1\sim\dfrac{R_1-d/2}{r_{\text{брак.}}},\qquad N_2\sim\dfrac{R_1+d/2}{r_{\text{станд.}}}, \tag{2}\] где \(R_1\) — радиус круга, по которому проехала телега. С другой стороны, компьютер, считая, что колеса одинаковые, вычислил, что радиус круга равен \(R_2\). Однако заранее неизвестно, какое из колёс оказалось внутренним по его расчётам, поэтому возможны два варианта. Случай 1а. Предположим, что внутренним снова оказалось бракованное колесо. Тогда можно написать точно такие же соотношения \[N_1\sim\dfrac{R_2-d/2}{r_{\text{станд.}}},\qquad N_2\sim\dfrac{R_2+d/2}{r_{\text{станд.}}}, \tag{3}\] но используя одинаковые радиусы колёс. Видно, что из соотношения на \(N_2\) следует, что в таком случае \(R_1=R_2\), что противоречит условию. Поэтому перейдём к следующему случаю, в котором бракованное колесо оказалось внешним. Случай 1б. Напишем соотношения ещё раз \[N_1\sim\dfrac{R_2+d/2}{r_{\text{станд.}}},\qquad N_2\sim\dfrac{R_2-d/2}{r_{\text{станд.}}}. \tag{4}\] Из этих соотношений можно составить два уравнения \[\dfrac{R_2+d/2}{r_{\text{станд.}}}=\dfrac{R_1-d/2}{r_{\text{брак.}}}, \tag{5}\] \[\dfrac{R_2-d/2}{r_{\text{станд.}}}=\dfrac{R_1+d/2}{r_{\text{станд.}}}. \tag{6}\] Из второго уравнения следует, что \(d=R_2-R_1=13\ \text{м}-14\ \text{м}=-1\ \text{м}\). Так как ширина телеги не может быть отрицательной, этот случай нам тоже не подходит. Случай 2а. Пусть при движении бракованное колесо оказалось внешним, а по вычислениям компьютера оно оказалось внутренним. Можно составить два уравнения, аналогичных предыдущему случаю: \[\dfrac{R_2-d/2}{r_{\text{станд.}}}=\dfrac{R_1+d/2}{r_{\text{брак.}}}, \tag{7}\] \[\dfrac{R_2+d/2}{r_{\text{станд.}}}=\dfrac{R_1-d/2}{r_{\text{станд.}}}. \tag{8}\] Из второго уравнения следует, что \(d=R_1-R_2=14\ \text{м}-13\ \text{м}=1\ \text{м}\). Подставив выраженное значение \(d\) в первое уравнение, найдём отношение: \[\dfrac{r_{\text{брак.}}}{r_{\text{станд.}}}=\dfrac{R_1+d/2}{R_2-d/2}=\dfrac{14{,}5\ \text{м}}{12{,}5\ \text{м}}=1{,}16. \tag{9}\] То есть размер колеса отличается на 16%. Случай 2б. Этот случай невозможен по тем же причинам, что и Случай 1а. Ответ: Размер колеса отличается на 16%.