Мост с амперметром

Сначала найдите сопротивление цепи при идеальном амперметре: в схеме есть симметрия (мост), и средняя ветвь не несёт тока. После переноса амперметра он соединяет два узла — сведите схему к последовательным и параллельным соединениям.

Вопрос. По закону Ома для полной цепи \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R_A + r}\), откуда \(R_A = \dfrac{\mathcal{E}}{I} - r = 0{,}4\) Ом. Погрешность оценим интервалами: \(\dfrac{4{,}48}{5{,}2} - 0{,}55 \approx 0{,}31 < R_A < \dfrac{4{,}52}{4{,}8} - 0{,}45 \approx 0{,}49\), то есть \(R_A \approx (0{,}40 \pm 0{,}09)\) Ом. Сильнее всего неточность влияет на результат, когда она входит в знаменатель с малой величиной.

Задача. У практически идеального амперметра внутреннее сопротивление равно нулю, поэтому \(I_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{r}\). Схема является сбалансированным мостом: ток через «тройной» резистор не течёт, и полное сопротивление равно сопротивлению двух параллельных ветвей \(6R\) и \(3R\), то есть \(R_1 = 2R\). Из \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{r + 2R} = \dfrac{r}{r+2R}I_0\) получаем \(R = \dfrac{I_0 - I}{2I}\,r = \dfrac{9}{2}r\).

После перестановки амперметр закорачивает соединённые точки схемы (см. рис.). Правая часть имеет сопротивление \(R_{пр} = \dfrac45 R\), левая: \(\dfrac{1}{R_л} = \dfrac{1}{2R} + \dfrac{1}{R + 3R/4}\), откуда \(R_л = \dfrac{14}{15}R\). Полное сопротивление \(R_2 = \dfrac{26}{15}R\), ток источника \(I_2 = \dfrac{\mathcal{E}}{r + R_2} = \dfrac{5}{44}I_0\). В нижней ветви левой части течёт \(\dfrac{8}{15}I_2\), в ветви с одним резистором — \(\dfrac34\cdot\dfrac{8}{15}I_2 = \dfrac{1}{22}I_0\), а в нижней ветви правой части — \(\dfrac45 I_2 = \dfrac{1}{11}I_0\). Через амперметр течёт разность этих токов: \[I_A = \frac{1}{11}I_0 - \frac{1}{22}I_0 = \frac{1}{22}I_0 = 0{,}5~\text{А}.\]