Стержень в понижающейся воде

Считайте процесс квазистатическим: в каждый момент сумма моментов силы тяжести и силы Архимеда относительно шарнира равна нулю. Сила Архимеда зависит от погружённой части стержня, которая при наклоне имеет длину \(h/\cos\alpha\).

Вопрос. Перевёрнутый стакан при небольшом погружении всплывает, потому что воздух в нём создаёт большую часть погружённого объёма. С ростом глубины внешнее давление сжимает воздух, его объём уменьшается, и вместе с ним уменьшается сила Архимеда. Она может стать меньше силы тяжести, и тогда стакан при достаточно большом погружении тонет.

Задача. Так как уровень воды понижается плавно, стержень в каждый момент находится в квазиравновесном состоянии, и сумма моментов сил тяжести и Архимеда относительно оси шарнира равна нулю. Пусть в момент \(t\) уровень воды равен \(h = h_0 - ut\), а угол отклонения стержня от вертикали равен \(\alpha\). Тогда \[F_A\cdot\frac{1}{2}h\,\operatorname{tg}\alpha - mg\cdot\frac{1}{2}h_0\sin\alpha = 0.\] Поскольку \(F_A = \rho_0\dfrac{h}{\cos\alpha}Sg\), а \(m = \rho S h_0 = \dfrac{1}{9}\rho_0 S h_0\), получаем \(\cos^2\alpha = 9\left(1 - \dfrac{ut}{h_0}\right)^2\), то есть \(\alpha(t) = \arccos\!\left[3\left(1 - \dfrac{ut}{h_0}\right)\right]\). Косинус не может превышать единицу, поэтому при \(t < \dfrac{2h_0}{3u}\) стержень остаётся вертикальным (\(\alpha = 0\)). К моменту \(t_0 = \dfrac{h_0}{u}\) уровень воды понижается до нуля, и стержень ложится на дно (\(\alpha = 90^\circ\)).