Ток вдоль экватора

Поле кольца с током на его оси направлено вдоль оси. Вклады малых участков кольца складываются по направлению оси, поэтому достаточно учесть проекции на ось.

Найдём индукцию магнитного поля, создаваемого током, текущим по кольцу радиусом \(R\), на оси кольца на расстоянии \(R\) от центра. Из симметрии задачи ясно, что вектор индукции будет направлен вдоль оси кольца. Рассмотрим небольшой участок кольца длиной \(dl\). Он находится на расстоянии \(\sqrt{R^2+R^2}=\sqrt{2}R\) от точки, где мы ищем индукцию поля. По закону Био — Савара — Лапласа индукция магнитного поля, создаваемая этим участком, равна \[dB = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I\,dl}{2R^2},\] причём вектор \(d\vec B\) составляет угол \(45^\circ\) с осью кольца. Индукцию поля, создаваемого всем кольцом, найдём, суммируя проекции на ось кольца полей небольших участков: \[B = \frac{\mu_0}{4\pi}\cdot\frac{I\cdot 2\pi R}{2R^2}\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}\,\mu_0 I}{8R}.\] Индукция поля, создаваемого кольцевым током, должна быть по модулю равна индукции собственного магнитного поля Земли. Следовательно, необходимая величина силы тока \[I = \frac{8BR}{\sqrt{2}\,\mu_0} \approx 1{,}7\cdot 10^{9}\text{ А}.\]