Лёд и вода в калориметре

Выделите три стадии: сначала вода целиком намерзает на льдинку, потом лёд начинает таять, потом весь лёд растаял. Каким должен быть наклон графика на каждой стадии?

Когда количество наливаемой воды является небольшим, она вся намораживается на льдинку. На данном этапе масса \(m_1\) складывается из начальной массы \(m_0 = 4\text{ кг}\) и массы \(m_2\): \(m_1 = m_0 + m_2\). Изобразим эту зависимость на графике:

Когда температура образовавшейся льдинки станет равна \(0\,{}^\circ\text{C}\), льдинка начнёт таять. При добавлении воды (удельная теплоёмкость \(c\)) массой \(\Delta m_2\) при температуре \(t_\text{в}\) (в градусах Цельсия) льдинка (удельная теплота плавления \(\lambda\)) будет получать количество теплоты \(c\,\Delta m_2 \cdot t_\text{в}\), и лёд массой \(c\,\Delta m_2 \cdot t_\text{в}/\lambda\) превратится в воду. Поэтому на втором участке график зависимости \(m_1\) от \(m_2\) будет прямой с отрицательным угловым коэффициентом \[\frac{\Delta m_1}{\Delta m_2} = -\frac{c\,t_\text{в}}{\lambda}.\] Наконец, на третьем этапе весь лёд расплавится, и график будет совпадать с прямой \(m_1 = 0\).

Таким образом, искомый график является ломаной линией, состоящей из отрезка прямой с угловым коэффициентом, равным единице; отрезка прямой с отрицательным угловым коэффициентом и горизонтальной линии \(m_1 = 0\). Учитывая две экспериментальные точки, приходим к окончательному графику (см. ответ).

Из графика видно, что максимальное значение \(m_1\) достигается при \(m_2 = 0{,}5\text{ кг}\). Это максимальное значение равно 4,5 кг. Масса \(m_1\) обращается в нуль, когда \(m_2\) не меньше 5 кг.

Температуру воды найдём из формулы для углового коэффициента на втором участке: по графику угловой коэффициент прямой равен \(-1\), отсюда \(t_\text{в} = 80\,{}^\circ\text{C}\).

Найдём начальную температуру льдинки. При охлаждении и замерзании воды массой \(m_2 = 0{,}5\text{ кг}\) выделяется количество теплоты \((c\,t_\text{в} + \lambda)m_2\). Оно идёт на нагревание льдинки массой \(m_0 = 4\text{ кг}\) и удельной теплоёмкостью \(c_\text{л}\) на \(\Delta t = m_2(c\,t_\text{в} + \lambda)/(c_\text{л} m_0) = 40\,{}^\circ\text{C}\). Поскольку именно при данном значении \(m_2\) льдинка нагревается до \(0\,{}^\circ\text{C}\), начальная температура льдинки равна \(-40\,{}^\circ\text{C}\).