Максимальный угол вылета

Перейдите в систему центра масс: там суммарный импульс равен нулю, а скорость лёгкого ядра после удара фиксирована по модулю, но произвольна по направлению. Как сложить её со скоростью центра масс, чтобы угол был наибольшим?

1) Пусть \(v\) — скорость тяжёлого ядра до столкновения, тогда скорость центра масс равна \(V = \dfrac{6v}{7}\). Энергия центра масс равна \(\dfrac{7mV^2}{2} = \dfrac{7mv^2\cdot 36}{2\cdot 49} = \dfrac{18}{7}mv^2\), она не меняется в процессе столкновения. Суммарная энергия ядер в системе центра масс до столкновения равна \(\dfrac{3mv^2}{7}\). После столкновения суммарная энергия ядер становится равна \[T'_\Sigma = \frac{3mv^2}{7} - \frac{9mv^2}{28} = \frac{3mv^2}{28}.\] В системе центра масс суммарный импульс ядер равен нулю, следовательно, модули импульсов равны, поэтому отношение кинетических энергий ядер после столкновения равно обратному отношению их масс: \[\frac{T'_2}{T'_1} = \frac{(p'_2)^2}{2m_2} : \frac{(p'_1)^2}{2m_1} = \frac{m_1}{m_2} = 6.\] Таким образом, кинетическая энергия лёгкого ядра после столкновения в системе центра масс равна \(T'_2 = \dfrac{6}{7}T'_\Sigma = \dfrac{18mv^2}{14^2}\), а искомая скорость лёгкого ядра после столкновения равна \(u'_2 = \sqrt{\dfrac{2T'_2}{m}} = \dfrac{3v}{7}\). Она в \(\dfrac{7}{3}\) раз меньше \(v\). Округляя, получаем ответ: \(\dfrac{v}{u'_2} \approx 2\).

2) Скорость лёгкого ядра после столкновения в лабораторной системе равна векторной сумме \(\vec v'_2 = \vec V + \vec u'_2\). В треугольнике скоростей, соответствующем этому равенству, длины двух сторон \(V\) и \(u'_2\) фиксированы, а значения длины третьей стороны и углов могут быть различными. Максимальному углу вылета соответствует треугольник с прямым углом между сторонами \(v'_2\) и \(u'_2\). В этом случае \(\sin\beta_{\max} = \dfrac{u'_2}{V} = \dfrac{1}{2}\). Иначе говоря, \(\beta_{\max} = \arcsin\dfrac{1}{2} = 30^\circ\).