Пушки

Время полёта снаряда одинаково в обоих выстрелах, так как вертикальная составляющая скорости не меняется. Горизонтальная точка падения при выстреле из движущегося поезда складывается из двух векторов: скорости снаряда относительно пушки и скорости поезда.

Пусть скорость вылета снаряда из дула равна \(V\), а скорость поезда \(u\).

При выстреле неподвижной пушкой дальность полёта \(L\) равна отрезку \(\Pi B\) на плане: по теореме Пифагора \(L = \sqrt{11^2 + 4^2} = \sqrt{17}\) клеток. С другой стороны, \(L = V_г t\), где \(V_г = V\cos\alpha\) — горизонтальная скорость вылета, а \(t\) — время полёта. Время \(t\) зависит только от вертикальной скорости \(V\sin\alpha\), которая одинакова при обоих выстрелах, поэтому время полёта в обоих случаях одно и то же.

При выстреле из движущегося поезда снаряд в системе Земли вылетает с горизонтальной скоростью \(\vec V_г + \vec u\), и точка попадания равна сумме векторов \(\vec V_г t\) и \(\vec u t\). Длина первого вектора равна \(L\), а второй параллелен рельсам. Построив окружность радиуса \(L\) с центром в \(\Pi\) и прямую, проходящую через \(A\) параллельно рельсам, получаем \(|\Pi X| = L\), \(|XA| = ut\), откуда \[\frac{|\Pi X|}{|XA|} = \frac{V\cos\alpha}{u}.\] По рисунку \(|\Pi X|/|XA| = \sqrt{17}/2\), значит \(V/u = \sqrt{17}/(2\cos\alpha) = \sqrt{17/3}\) при \(\alpha = 30^\circ\). Вектор \(\overrightarrow{\Pi A}\) можно разложить и вторым способом (через точку \(X'\)), тогда \(|\Pi X'|/|X'A| = \sqrt{17}/4\) и \(V/u = \sqrt{17}/(4\cos\alpha) = \sqrt{17/12}\).