Доска

Пока доска вертикальна, изображение лампочки находится на расстоянии \(2a\) от неё; вычислите, как меняется доля погружённой части доски при спуске.

Если доска остаётся вертикальной, изображение лампочки всегда имеет \(x\)-координату \(2a\): изображение Л′ лежит за зеркалом на продолжении перпендикуляра, опущенного из Л на плоскость зеркала, так что ЛO = OЛ′.

Почему доска погружается вертикально, и всё ли так — проверяем условием равновесия. Пусть доска висит под углом \(\beta\) к вертикали, в жидкости находится доля \(\gamma\) её длины (объём \(\gamma a^2 d\), \(d\) — толщина). Тогда \(mg = T_0 = \rho g a^2 d\) и сила Архимеда \(F_A = \rho_0 g\gamma a^2 d = \gamma\rho_0 T_0/\rho\). Баланс сил: \(T_0 = T + \gamma\rho_0 T_0/\rho\). Баланс моментов относительно точки подвеса: \(T_0 \dfrac{a}{2} = F_A a\left(1 - \dfrac{\gamma}{2}\right)\), откуда \[\gamma(2 - \gamma) = \frac{\rho}{\rho_0}.\] Физический корень (с \(0 \le \gamma \le 1\)) существует при \(\rho < \rho_0\) и равен \(\gamma_{\text{кр}} = 1 - \sqrt{1 - \rho/\rho_0}\). Тогда \(T = T_{\text{кр}} = T_0(1 - \gamma_{\text{кр}}\rho_0/\rho)\).

Пока доля погружённой части меньше \(\gamma_{\text{кр}}\), доска висит вертикально и изображение неподвижно при \(x = 2a\). Далее \(\gamma\) перестаёт меняться, а доска отклоняется от вертикали, сохраняя погружённый объём; изображение при этом смещается, а сила натяжения остаётся равной \(T_{\text{кр}}\). Когда доска почти горизонтальна, \(T\) снова меняется, а \(x\)-координата изображения остаётся равной нулю.