Задачи › Тепловое расширение тел и жидкостей

Оловянный стакан

  1. Оловянный стакан

    Санкт-Петербургская 2018/19, 10 кл.
    6/10

    Оловянный стакан при температуре \(t_0\) может вместить в себя объём воды \(V_0\) той же температуры. Известно, что при нагревании вода расширяется: можно считать, что нагрев воды объёма \(V_0\) от температуры \(t_0\) на произвольную величину \(\Delta t\) вызывает увеличение её объёма на \(\alpha_в V_0 \Delta t\). Величина \(\alpha_в\) — коэффициент объёмного расширения воды — известна. Аналогично, равномерно во все стороны расширяется при нагревании олово, его коэффициент объёмного расширения \(\alpha_о\) также известен. В оловянный стакан, первоначально имеющий температуру \(t_0\), медленно заливают горячую воду при температуре \(t\) (\(t > t_0\)). Какая температура установится в стакане, если к моменту установления теплового равновесия он целиком заполнен водой? Теплоёмкость пустого стакана постоянна и равна \(C_0\), удельная теплоёмкость воды постоянна и равна \(c\). Плотность воды при температуре \(t_0\) равна \(\rho_0\). Считайте, что вода из стакана не проливалась. Потерями тепла пренебречь.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сначала найдите объём стакана при температуре \(t_0 + \Delta t\): он расширяется так же, как олово. Затем найдите массу воды, которая в него помещается, учитывая, что плотность воды при нагреве меняется.

    Ответ

    \(t_0 + \dfrac{\sqrt{\bigl(1 + z - \alpha_о z (t - t_0)\bigr)^2 + 4(\alpha_в + z\alpha_о)\,z\,(t - t_0)} - \bigl(1 + z - \alpha_о z (t - t_0)\bigr)}{2(\alpha_в + z\alpha_о)}\), где \(z = \dfrac{c\,\rho_0 V_0}{C_0}\).

    Решение

    Обозначим установившуюся температуру \(t_0 + \Delta t\). При этой температуре стакан вмещает объём \(V_0(1 + \alpha_о \Delta t)\): полость в олове расширяется так же, как само олово (как отверстие в металлическом кольце при нагреве).

    Если при \(t_0\) вода имела плотность \(\rho_0\), то после нагрева на \(\Delta t\) её плотность становится \(\rho' = \rho_0/(1 + \alpha_в \Delta t)\), а масса воды в стакане \[m = \rho' V_0 (1 + \alpha_о \Delta t) = \frac{\rho_0 V_0 (1 + \alpha_о \Delta t)}{1 + \alpha_в \Delta t}.\] Тепловой баланс: олово нагрелось на \(\Delta t\), поэтому \(C_0 \Delta t = c\,m\,(t - t_0 - \Delta t)\). Подставляя \(m\) и обозначая \(z = c\rho_0 V_0/C_0\), получаем \[(\alpha_в + z\alpha_о)\,\Delta t^2 + \Delta t\bigl(1 + z - \alpha_о z (t - t_0)\bigr) - z (t - t_0) = 0.\] Положительный корень этого квадратного уравнения даёт ответ.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх