Задачи › Центр масс, системы материальных точек

Ледовый цирк

  1. Ледовый цирк

    Санкт-Петербургская 2018/19, 10 кл.
    8/10

    По льду Ледового цирка со скоростью \(u\) едет диск массой \(2m\), на котором располагается акробат \(A\) массы \(m\). Выбрав момент, акробат перепрыгивает на другой диск, жёстко скреплённый с третьим диском лёгким стержнем длиной \(L\) (см. рис., вид сверху). Массы второго и третьего дисков совпадают и равны \(m\). В результате прыжка первый диск поехал со скоростью \(u'\) под углом \(\alpha\) относительно первоначального направления, а акробат остался стоять на втором диске. Через некоторое время стержень, соединяющий диски, оказался параллелен своему первоначальному положению. Какое перемещение совершит акробат за это время? Трением дисков о лёд, а также размерами дисков и акробата пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Закон сохранения импульса выполняется отдельно по двум осям. Далее удобно перейти в систему центра масс: в ней диски вращаются по окружностям.

    Ответ

    Через время, когда стержень снова параллелен исходному положению после полуцелого числа оборотов, перемещение акробата \[s_n = L\sqrt{\left(\frac{2}{3} + \frac{4\pi(1+2n)\,u'\sin\alpha}{9u + 6u'\cos\alpha}\right)^2 + \frac{4\pi^2(1+2n)^2}{9}};\] после целого числа оборотов \[s'_n = L\sqrt{\left(\frac{8\pi n\,u'\sin\alpha}{9u + 6u'\cos\alpha}\right)^2 + \frac{16\pi^2 n^2}{9}}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots\]

    Решение

    Трением о лёд пренебрегаем, поэтому в момент прыжка выполняется закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальные оси.

    По оси \(x\) (направление, перпендикулярное исходному движению): \(0 = 3m V_x - 2m u'\sin\alpha\), откуда \(V_x = \dfrac{2u'\sin\alpha}{3}\). Стержень параллелен оси \(x\), поэтому скорости скреплённых дисков по этой оси выравниваются сразу.

    По оси \(y\): \(3mu = 2m V_y - 2mu'\cos\alpha\), откуда \(V_y = \dfrac{3u + 2u'\cos\alpha}{2}\). По этой оси скорость диска на втором конце стержня не выравнивается: стержень лёгкий и ориентирован вдоль \(x\), поэтому силы вдоль \(y\) между дисками не действуют.

    Центр масс системы скреплённых дисков с акробатом движется равномерно со скоростью, составляющие которой равны \(V_x\) и \(\tfrac{2}{3}V_y\). В системе центра масс диски вращаются по окружностям вокруг центра масс \(O\). Стержень снова станет параллелен исходному положению, когда диски повернутся на угол \(\pi + 2\pi n\), то есть через время \[t = \frac{\pi(1+2n)L}{V_y} = \frac{2\pi(1+2n)L}{3u + 2u'\cos\alpha}.\] За это время акробат смещается вдоль \(x\) на \(s_* = 2L/3\) за счёт вращения вокруг \(O\) и на \(V_x t\) вместе с центром масс, а вдоль \(y\) — на \(\tfrac{2}{3}V_y t\) вместе с центром масс. Отсюда получается ответ \(s_n\).

    Если диски повернулись на целое число оборотов (\(2\pi n\)), то \(t' = 2\pi n L/V_y\), \(s_* = 0\), и получается \(s'_n\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх