Частицы в трубах

Между встречами в \(C\) и \(D\) частица на кольце проходит не обязательно половину оборота: число оборотов — полуцелое. Время движения первой частицы от \(C\) до \(D\) найдите через \(t = \sqrt{2x/a}\).

При движении от точки \(C\) до точки \(D\) между двумя встречами частица в кольцевой трубе совершает \(N + \frac12\) оборотов, где \(N \geqslant 0\) — целое число. Это произошло за время \[\Delta t = \frac{2\pi R\left(N + \frac12\right)}{v} = \frac{\pi R(2N+1)}{v}.\] Пусть \(x(t)\) — расстояние от первой частицы до точки \(A\) в момент времени \(t\), где \(x(0) = 0\). Тогда \(x(t) = \dfrac{at^2}{2}\) и \(t = \sqrt{\dfrac{2x}{a}}\). Длины отрезков \(|AC| = \dfrac L2 - R\) и \(|AD| = \dfrac L2 + R\). Время движения частицы №1 от точки \(C\) до точки \(D\) равно \[\Delta t = \sqrt{\frac2a}\left(\sqrt{|AD|} - \sqrt{|AC|}\right) = \frac{\sqrt{L+2R} - \sqrt{L-2R}}{\sqrt a}.\] Получаем \[\frac{\pi R(2N+1)}{v} = \frac{\sqrt{L+2R} - \sqrt{L-2R}}{\sqrt a}.\] Откуда \[v = \frac{\pi R(2N+1)\sqrt a}{\sqrt{L+2R} - \sqrt{L-2R}} = \frac{\pi(2N+1)\left(\sqrt{L+2R} + \sqrt{L-2R}\right)\sqrt a}{4}.\] При \(R = L/2\) имеем \[v_1 = \frac{\pi\sqrt{2L}}{4}(2N+1)\sqrt a.\] При \(R \ll L\) получаем \[v_2 = \frac{\pi\sqrt L}{2}(2N+1)\sqrt a.\]