Треугольник на трёх нитях

Докажите, что силы натяжения нитей пропорциональны их длинам, с одним общим коэффициентом. Затем найдите расстояние от точки подвеса до центра треугольника.

Докажем, что силы натяжения нитей пропорциональны их длинам. Условие равновесия треугольника массы \(m\): \[\vec T_1 + \vec T_2 + \vec T_3 + m\vec g = 0 .\] Центр тяжести треугольника лежит под точкой крепления нитей. Введём вектор \(\vec h\) из точки крепления в центр тяжести (он направлен вертикально вниз) и векторы \(\vec a\), \(\vec b\), \(\vec c\) из центра тяжести в вершины. Тогда \(\vec T_i = -k_i(\vec h + \vec a_i)\), где \(k_i\) — некоторые числа размерности Н/м. Так как \(\vec a + \vec b + \vec c = 0\), условие равновесия даёт \[\left\{ m\vec g - \vec h\,(k_1+k_2+k_3)\right\} + (k_3-k_1)\vec a - (k_3-k_2)\vec b = 0 .\] Второй и третий векторы лежат в плоскости треугольника, первый направлен вертикально, поэтому сумма равна нулю только если все они нулевые: \[k_1 = k_2 = k_3 = \frac{mg}{3h}.\] Итак, силы натяжения пропорциональны длинам нитей, а коэффициент пропорциональности определяется массой треугольника и расстоянием \(h\) от точки крепления до его центра.

Найдём \(h\) геометрически. Пусть \(AE = AD = l\), \(AC = 1{,}2\,l\), \(\angle AOB = \alpha\). Тогда \[AB = \sqrt{l^2 - (a/2)^2}, \qquad OB = \frac{\sqrt{3}\,a}{6}, \qquad OC = \frac{\sqrt{3}\,a}{3}, \qquad \angle AOC = \pi - \alpha .\] По теореме косинусов для треугольников \(AOB\) и \(AOC\): \[l^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{12} + h^2 - \frac{\sqrt{3}}{3}\,ah\cos\alpha, \qquad 1{,}44\,l^2 = \frac{a^2}{3} + h^2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}\,ah\cos\alpha .\] Умножая первое уравнение на два и складывая, получаем \[h = \sqrt{\frac{3{,}44\,l^2 - a^2}{3}} .\] Отсюда коэффициент \(k = \dfrac{mg}{3h} = \dfrac{mg}{\sqrt{3\,(3{,}44\,l^2-a^2)}}\) и силы натяжения \[T_1 = T_2 = \frac{mgl}{\sqrt{3\,(3{,}44\,l^2-a^2)}} = T, \qquad T_3 = \frac{1{,}2\,mgl}{\sqrt{3\,(3{,}44\,l^2-a^2)}} = 1{,}2\,T .\]