Ромб в узком магнитном поле

Найдите, как меняется площадь контура внутри поля. Она зависит от того, какая часть контура сейчас в поле?

Пока контур пересекает область поля, в нём наводится ЭДС индукции: \[\mathcal{E} = \frac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \frac{B\,\Delta S}{\Delta t}.\] Пусть в некоторый момент времени контур расположен так, как показано на рисунке. За малое время \(\Delta t\) из области поля выходит кусочек площади \(x\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t\), а входит кусочек \((x+d)\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t\), где \(x\) — расстояние от вершины контура до ближайшей границы поля, \(\alpha\) — половина угла при вершине контура. Изменение площади контура в поле \[\Delta S = 2\left((x+d)\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t - x\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t\right) = 2d\,\mathrm{tg}\,\alpha\,v\Delta t .\] Отсюда \(\mathcal{E} = 2Bdv\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Эта величина не зависит от того, какая часть контура находится в поле, поэтому ток постоянен: \[I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{2Bdv\,\mathrm{tg}\,\alpha}{R},\] и выделяется постоянная мощность \[P = I^2R = \frac{(2Bdv\,\mathrm{tg}\,\alpha)^2}{R}.\] Контур движется равномерно, поэтому время пролёта через поле \[t = \frac{2a\cos\alpha}{v}.\]

Полное количество теплоты \[Q = Pt = \frac{8aB^2d^2v\,\mathrm{tg}^2\alpha\cos\alpha}{R}.\] Учитывая, что \(\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{1}{2}\) и \(\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\), получаем окончательно \[Q = \frac{4\,aB^2d^2v}{\sqrt{5}\,R}.\]