Бусинки на проволоке

Сравните скорости бусинок на горизонтальном участке. Какой закон сохранения работает при слипании, если внешних горизонтальных сил нет?

Бусинки скатываются по наклонной части с нулевыми начальными скоростями и одинаковыми ускорениями, поэтому верхняя не догонит нижнюю на наклонном участке. На горизонтальном участке бусинки движутся с постоянными скоростями, причём верхняя — быстрее (она спустилась с большей высоты). Значит, столкновение происходит на горизонтальном участке.

По закону сохранения энергии скорости перед столкновением: для нижней бусинки \(2mgl\sin\alpha = \dfrac{2mv_1^2}{2}\), откуда \(v_1 = \sqrt{2gl\sin\alpha}\); для верхней \(mg\cdot 3l\sin\alpha = \dfrac{mv_2^2}{2}\), откуда \(v_2 = \sqrt{6gl\sin\alpha}\).

При абсолютно неупругом столкновении бусинки слипаются. По закону сохранения импульса \[2mv_1 + mv_2 = 3mv \quad\Rightarrow\quad v = \frac{2v_1}{3} + \frac{v_2}{3}.\]

Количество теплоты находим по закону сохранения энергии: \[Q = \frac{2mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2} - \frac{3mv^2}{2} = \frac{4\,(2-\sqrt{3})}{3}\,mgl\sin\alpha \approx 0{,}357\,mgl\sin\alpha .\]