Поршень с песком

При медленном снятии песка процесс адиабатический; работа газа идёт на подъём поршня с песком. Что изменится, если весь песок убрать сразу?

Сосуд теплоизолирован, поэтому с газом происходит адиабатический процесс. Конечное давление газа \(p_1\) находим из закона адиабаты: \[pV^{5/3} = p_1(2V)^{5/3} \quad\Rightarrow\quad p_1 = \frac{p}{2^{5/3}}.\] Так как процесс адиабатический, работа газа равна убыли его внутренней энергии: \[A = U - U_1 = \frac{3}{2}\left(pV - p_1\cdot 2V\right) = \frac{3}{2}\,pV\left(1 - \frac{1}{2^{2/3}}\right).\] В первом случае эта работа идёт на увеличение потенциальной энергии поршня и песка, который распределяется по высоте между начальным и конечным положениями поршня. Во втором случае работа идёт на увеличение потенциальной и кинетической энергий поршня, так как весь песок остаётся на исходном уровне. Поэтому \[A = Mgh + E_k,\] где \(M\) — масса поршня, \(h\) — высота подъёма поршня, \(E_k\) — его кинетическая энергия. Из условия равновесия поршня в конечном состоянии \(Mg = p_1S\), где \(S\) — площадь сечения сосуда. Умножая на \(h\) и учитывая, что \(Sh = V\), получаем \[Mgh = p_1V = \frac{pV}{2^{5/3}}.\] Для кинетической энергии поршня \[E_k = A - Mgh = \frac{3}{2}\,pV\left(1 - \frac{1}{2^{2/3}}\right) - \frac{pV}{2^{5/3}} = pV\left(\frac{3}{2} - \frac{4}{2^{5/3}}\right).\]