Задачи › Плавание тел, устойчивость плавания

Картезианский водолаз

  1. Картезианский водолаз

    «Бельчонок» 2021/22, 11 кл.
    6/10

    Игрушка «Картезианский водолаз» представляет собой небольшую пробирку массы \(m\) и объёмом \(V_0\), которую в перевёрнутом виде (открытым концом вниз) погрузили в воду. Часть объёма при этом оказалась заполнена из-за гидростатического давления. При этом пробирка обладает положительной плавучестью (не тонет). Внешнее давление равно атмосферному \(P_0\), но если его повышать, то пробирка-водолаз с некоторого момента начнёт погружаться. Причём существует такая глубина погружения, с которой водолаз не вернётся на поверхность даже при уменьшении давления до атмосферного, а напротив, продолжит необратимое погружение. Оцените эту критическую глубину. (10 баллов)

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Когда сила Архимеда перестаёт компенсировать вес? Как связаны объём воздуха в пробирке и давление на данной глубине?

    Ответ

    \(h = \dfrac{P_0}{g}\left(\dfrac{V_0}{m} - \dfrac{1}{\rho}\right)\), где \(\rho\) — плотность воды.

    Решение

    Существование критической глубины обусловлено гидростатическим давлением, которое увеличивается с глубиной. На этой глубине давление столь велико, что воздух сжат настолько сильно, что его объём недостаточен, чтобы сила Архимеда выиграла конкуренцию с силой тяжести. При глубинах чуть больших критической выталкивающая сила будет заведомо меньше силы тяжести, и водолаз будет обладать отрицательной плавучестью. Это событие наступает при условии безразличного плавания: \[mg = \rho g V,\] где \(V\) — объём воздуха в пробирке, \(\rho\) — плотность воды.

    Если считать, что процесс погружения водолаза и сжатия воздуха изотермический, то \[P_0 V_0 = (P_0 + \rho g h)\,V.\] Отсюда с учётом условия безразличного плавания получим \[h = \frac{P_0}{g}\left(\frac{V_0}{m} - \frac{1}{\rho}\right).\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх