В память о лесосплаве

Сила трения покоя между брусками ограничена: найдите, какое наибольшее ускорение она может сообщить верхним брускам, и сравните его с ускорением, которое надо сообщить вытягиваемому бруску.

2.1) в обоих случаях \(F=3\mu mg\);  2.2) \(a_{\max}=\mu g\), \(F_3=6\mu mg\), сила прикладывается к нижнему бруску;  2.3) \(F_4=3\mu mg\);  2.4) \(F_5=3\mu mg\), нижний брусок не сдвинется;  2.5) \(F_6=6\mu mg\);  2.6) стопка приобретает скорость \(v_2=(v_0-v)/5\), а брусок после остановки окажется на расстоянии \(\dfrac{v^2}{2\mu g}-\dfrac{(v_0-v)^2}{50\mu g}\) от стопки (если \(v>v_0/6\), иначе вплотную).

2.1 Чтобы сдвинуть бруски необходимо приложить силу превышающую силу трения. В соответствии с законном Кулона-Амонтона сила трения не зависит от площади соприкосновения, а определяется силой нормальной реакции. В обоих случаяхх сила трения (и равная ей минимальная сила) равна

\[F = \mu N = 3 \mu m g.\tag{1}\]

2.2 Между брусками, сложенными стопкой, действуют силы трения, максимальные значения которых равны: Между верхним и средним

\[F_{\text{mp1}} = \mu m g,\tag{2}\]

Между средним и нижним

\[F_{\text{mp2}} = 2 \mu m g,\tag{3}\]

Между нижним и столом

\[F_{\text{mp3}} = 3 \mu m g.\tag{4}\]

Таким образом, если прикладывать внешнюю силу к среднему бруску, то нижний брусок не сдвинется: со стороны среднего будет действовать сила \(F_{\text{тр}2} = 2\mu mg\), а тормозить его будет большая сила \(F_{\text{тр}3}\). Следовательно, чтобы сдвинуть стопку целиком, внешнюю силу \(\vec{F}_3\) следует прикладывать к нижнему бруску. Максимальная сила, которая сообщает ускорение среднему и верхнему брускам при движении нижнего, есть сила трения \(F_{\text{тр}2} = 2\mu mg\). Поэтому максимальное ускорение, с которым могут двигаться вместе верхний и средний бруски, равно

\[a_{\text{max}} = \frac{2\mu mg}{2m} = \mu g.\tag{5}\]

Заметим, что максимальная сила трения, действующая на верхний брусок, равна \(F_{\text{тр}1} = \mu mg\), поэтому она в состоянии сообщить и верхнему бруску такое же ускорение, следовательно, и верхний брусок при этом не сдвинется. Таким образом, искомая сила \(\vec{F}_3\) может быть найдена из условия, что все бруски движутся с ускорением \(a_{\text{max}}\):

\[F_3 - 3\mu mg = 3ma_{\text{max}} \quad \Rightarrow \quad F_3 = 6\mu mg.\tag{6}\]

2.3 Минимальная сила, которую следует приложить в этом случае, должна превышать суммарную силу трения, действующую на нижний брусок, как со стороны верхнего бруска, так и со стороны стола, т.е.

\[F_4 = \mu mg + 2\mu mg = 3\mu mg.\tag{7}\]

2.4 Как следует из рисунка, распределение сил, действующих на два верхних бруска, такое же, как и в предыдущем случае, поэтому минимальная сила, которая необходима для того, чтобы выдернуть средний брусок такая же

\[F_5 = 3\mu mg.\tag{8}\]

Как отмечалось ранее, нижний брусок при этом со своего места не сдвинется.

2.5 Чтобы выдернуть нижний брусок, необходимо сообщить ему ускорение большее, чем \(a_{\text{max}}\), найденное в п. 2.2. Записывая уравнение второго закона Ньютона для нижнего бруска,

\[ma_{\text{max}} = F_6 - 5\mu mg,\tag{9}\]

Получим

\[F_6 = 6\mu mg\tag{10}\]

2.6 Пока нижний брусок не выскочил из-под стопки на него действовала сила трения \(5\mu mg\). Уравнение движения нижнего бруска на

\[m a = -5 \mu m g .\tag{11}\]

Так как все силы постоянны, то движение бруска являлось равноускоренным, поэтому можно записать

\[m \frac{v_{0} - v_{1}}{\Delta t} = 5 \mu m g .\tag{12}\]

Отсюда следует, что длительность соскальзывания равно

\[\Delta t = \frac{v_{0} - v_{1}}{5 \mu g} .\tag{13}\]

Два верхних бруска, как было показано ранее, будут двигаться вместе с ускорением \(a = \mu g\). Поэтому к моменту соскальзывания с нижнего бруска верхние приобретут скорость

\[v_{2} = \mu g \Delta t = \frac{v_{0} - v_{1}}{5} .\tag{14}\]

При движении по столу путь бруска от начальной скорости \(V_{0}\) до остановки можно найти по кинематической формуле

\[S = \frac{V_{0}^{2}}{2 a} = \frac{V_{0}^{2}}{2 \mu g}\tag{15}\]

Следовательно, после выскальзывания нижний брусок пройдет путь

\[S_{1} = \frac{v_{1}^{2}}{2 \mu g} ,\tag{16}\]

а верхние

\[S_{2} = \frac{\left(v_{0} - v_{1}\right)^{2}}{50 \mu g} .\tag{17}\]

Если \(S_{1} > S_{2}\), то расстояние между брусками после остановки будет равно

\[S_{1} - S_{2} = \frac{v_{1}^{2}}{2 \mu g} - \frac{\left(v_{0} - v_{1}\right)^{2}}{50 \mu g} .\tag{18}\]

В противном случае расстояние между брусками станет равным нулю. Это условие будет выполнено при

\[\frac{v_{1}^{2}}{2 \mu g} < \frac{\left(v_{0} - v_{1}\right)^{2}}{50 \mu g} \quad \Rightarrow \quad 5 v_{1} < v_{0} - v_{1} \quad \Rightarrow \quad v_{1} < \frac{v_{0}}{6} .\tag{19}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.