Терморезисторы

Рассмотрите также уравнение для суммы сопротивлений: оно разделяет область на устойчивый и неустойчивый случаи. Стационарные значения — корни квадратного уравнения \(r^2 - r + p = 0\), из которого видно, что при \(p > 1/4\) стационарных значений нет.

Часть 1. Один «положительный» терморезистор.

1.1. В этом случае уравнение теплового баланса имеет вид \[C\frac{\Delta t}{\Delta\tau} = I_0^{2}R_0\left(1 + \alpha t\right) - \beta t. \qquad (1)\] Терморезистор перегорит, если мощность теплоты, выделяющаяся при протекании тока \(P_{(+)} = I_0^{2}R_0(1 + \alpha t)\), все время будет превышать мощность теплоотдачи \(P_{(-)} = \beta t\). Построим схематические графики зависимостей этих мощностей от температуры. Обе функции являются линейными, поэтому их графики — прямые линии. Из графиков следует, что они будут иметь общую точку пересечения в указанном диапазоне температур, если наклон графика \(P_{(-)}\) будет больше наклона графика \(P_{(+)}\), т.е. при выполнении условия \[\alpha I_0^{2}R_0 < \beta. \qquad (2)\] В противном случае мощность поступающей теплоты все время будет превышать мощность уходящей теплоты, поэтому резистор будет разогреваться до бесконечности и перегорит. Следовательно, максимальная сила тока, который может протекать через резистор, равна \[I_{0\max} = \sqrt{\frac{\beta}{\alpha R_0}}. \qquad (3)\]

Способ решения 2. Из уравнения (1) следует, что в стационарном режиме установившаяся температура терморезистора равна \[I_0^{2}R_0\left(1 + \alpha t\right) - \beta t = 0 \ \Rightarrow\ \bar t = \frac{I_0^{2}R_0}{\beta - \alpha I_0^{2}R_0}. \qquad (4)\] Из этой формулы следует, что установившийся режим возможен только при выполнении неравенства (2). Однако в данном решении нет аргументации того, что температура будет расти до бесконечности. Поэтому данное решение оценивается меньшим числом баллов.

1.2. Перейдем к уравнению для изменения сопротивления по рекомендованной методике. Для этого выразим температуру резистора через его сопротивление. Из формулы \(R = R_0(1 + \alpha t)\) следует \[r = \frac{R}{R_0} = 1 + \alpha t, \qquad t = \frac{r - 1}{\alpha}, \qquad dt = \frac{dr}{\alpha}. \qquad (5)\] Подставляя эти выражения в уравнение (1), получим \[\frac{C}{\alpha}\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = I_0^{2}R_0 r - \frac{\beta}{\alpha}(r - 1) \ \Rightarrow\ \frac{C}{\beta}\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = \frac{\alpha I_0^{2}R_0}{\beta}\,r - (r - 1). \qquad (6)\] Тем самым приходим к нужному виду уравнения \[a\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = pr - (r - 1), \qquad a = \frac{C}{\beta}. \qquad (7)\] Перепишем уравнение в наглядной форме \[a\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = pr - (r - 1) = (p - 1)\left(r - \frac{1}{1 - p}\right). \qquad (8)\]

1.3. Из этого уравнения следует, что: а) при \(p < 1\) сопротивление стремится к предельному значению \(\bar r = \dfrac{1}{1 - p}\), независимо от начального значения; б) при \(p > 1\) сопротивление стремится к бесконечности независимо от начального условия. При заданных значениях параметров: а) \(p = 0{,}6\) — существует стационарное значение \(\bar r = \dfrac{1}{1 - 0{,}6} = 2{,}5\), поэтому все кривые стремятся к этому значению; б) \(p = 1{,}4\) — стационарного значения нет, поэтому все кривые уходят в бесконечность, причем, чем больше начальное значение \(r_0\), тем быстрее растет сопротивление. Требуемые графики показаны на рисунке.

Часть 2. Два «отрицательных» терморезистора.

2.1. При последовательном соединении сила тока в цепи постоянна и равна \[I = \frac{U_0}{R_1 + R_2}. \qquad (10)\] Поэтому уравнения теплового баланса для терморезисторов имеют вид \[\begin{cases} C\dfrac{\Delta t_1}{\Delta\tau} = \dfrac{U_0^{2}}{(R_1 + R_2)^{2}}R_1 - \beta t_1 \\[2mm] C\dfrac{\Delta t_2}{\Delta\tau} = \dfrac{U_0^{2}}{(R_1 + R_2)^{2}}R_2 - \beta t_2 \end{cases} \qquad (11)\] Уравнения (11) отличаются только индексом, поэтому достаточно преобразовать одно из них. Выразим значение температуры терморезистора через его сопротивление \[R_1 = R_0\left(1 - \alpha t_1\right) \ \Rightarrow\ t_1 = \frac{1 - r_1}{\alpha}; \qquad \Delta t_1 = -\frac{1}{\alpha}\Delta r_1. \qquad (12)\] После подстановки в уравнение (11) получим \[-\frac{C}{\alpha}\frac{\Delta r_1}{\Delta\tau} = \frac{U_0^{2}}{R_0}\frac{r_1}{(r_1 + r_2)^{2}} - \frac{\beta}{\alpha}\left(1 - r_1\right).\] Разделив уравнение на отношение \(\left(-\dfrac{\beta}{\alpha}\right)\), получим его в требуемом виде \[\frac{C}{\beta}\frac{\Delta r_1}{\Delta\tau} = -\frac{\alpha U_0^{2}}{4\beta R_0}\cdot\frac{4r_1}{(r_1 + r_2)^{2}} + \left(1 - r_1\right). \qquad (13)\] В котором \(a = \dfrac{C}{\beta}\) и присутствует указанный параметр \(p\). Таким образом, требуемая система уравнений имеет вид \[\begin{cases} a\dfrac{\Delta r_1}{\Delta\tau} = -4p\dfrac{r_1}{(r_1 + r_2)^{2}} + (1 - r_1) \\[2mm] a\dfrac{\Delta r_2}{\Delta\tau} = -4p\dfrac{r_2}{(r_1 + r_2)^{2}} + (1 - r_2) \end{cases} \qquad (14)\]

2.2. Получим уравнение, описывающее изменение разности сопротивлений, для чего вычтем из первого уравнения системы (14) второе: \[a\frac{\Delta(r_1 - r_2)}{\Delta\tau} = -4p\frac{(r_1 - r_2)}{(r_1 + r_2)^{2}} - (r_1 - r_2) = -\left(\frac{4p}{(r_1 + r_2)^{2}} + 1\right)(r_1 - r_2). \qquad (15)\] Так как коэффициент, стоящий при разности сопротивлений, отрицателен при любых значениях мощности и сопротивлений, то при любых начальных условиях разность сопротивлений стремится к нулю. Следовательно, в установившемся режиме сопротивления терморезисторов будут равны.

Рассмотрим одно из уравнений системы (14) при \(r_1 = r_2 = r\) (в этом случае уравнения одинаковы): \[\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = -\frac{p}{r} + (1 - r). \qquad (16)\] Это уравнение, описывающее динамику изменения сопротивления. Укажем физический смысл слагаемых этого уравнения: величина \(P_{(+)} = \dfrac{p}{r}\) есть мощность теплоты, выделяющаяся при протекании тока — нагрев проводника приводит к уменьшению его сопротивления, поэтому в уравнении (16) она отрицательна; величина \(P_{(-)} = 1 - r\) — есть мощность теплоты, уходящей в окружающую среду — ее увеличение приводит к уменьшению температуры резистора, следовательно, к увеличению его сопротивления.

2.3. В установившемся режиме эти мощности равны \(P_{(+)} = P_{(-)}\). Решение данной задачи имеет красивое геометрическое истолкование. Обозначим \(x = r\), а равные мощности теплоты \(y = P_{(+)}\). Тогда поставленная математическая задача формулируется следующим образом: найти точки пересечения линий, задаваемых уравнениями \[\begin{cases} x + y = 1 \\ xy = p \end{cases} \qquad (17)\] Первое уравнение задает прямую, отсекающую на осях координат единичные отрезки. Второе уравнение описывает гиперболу, симметричную относительно биссектрисы координатного угла. Координаты точки пересечения гиперболы с биссектрисой легко найти \[x^{*} = y^{*} \ \Rightarrow\ \left(x^{*}\right)^{2} = p \ \Rightarrow\ x^{*} = y^{*} = \sqrt{p}.\]

Теперь можно легко построить схематические графики зависимостей мощностей: \(P_{(+)} = \dfrac{p}{r}\) (при разных значениях \(p\)) и \(P_{(-)} = 1 - r\). Из проведенного анализа следует, что гипербола и прямая касаются друг друга при \(\sqrt{p} = \dfrac{1}{2}\), или при \(p = \dfrac{1}{4}\). При меньшем значении \(p\) имеются две стационарные точки. Из уравнения (13) следует, что увеличение мощности \(P_{(+)}\) приводит к уменьшению сопротивления, а увеличение мощности \(P_{(-)}\) — к увеличению сопротивления. Простой анализ поведения сопротивления при отклонении от стационарного значения показывает, что устойчивым является большее стационарное значение. Таким образом, при \(p < \dfrac{1}{4}\) существует устойчивое стационарное значение сопротивления термистора (следовательно, и его температуры). При \(p > \dfrac{1}{4}\) стационарных значений сопротивления нет. В этом случае мощность, выделяющаяся при протекании тока всегда, превышает мощность потерь, что приводит к бесконечному увеличению температуры и перегоранию терморезистора. Подводя итог проведенному анализу, сформулируем окончательный ответ на поставленный вопрос: установившийся режим протекания тока возможен при \[p < \frac{1}{4}. \qquad (18)\]

Способ решения 2. Эти же результаты могут быть получены и на основании анализа корней уравнения (13) в стационарном режиме \[\frac{\Delta r}{\Delta\tau} = -\frac{p}{r} + (1 - r) = 0,\] которое приводится к квадратному уравнению \(r^2 - r + p = 0\). Дискриминант этого уравнения равен \(D = 1 - 4p\). При \(D > 0\) (т.е. при \(p < 1/4\)) уравнение имеет два корня; при \(D < 0\) (т.е. при \(p > 1/4\)) уравнение корней не имеет; при \(D = 0\) (т.е. при \(p = 1/4\)) корни уравнения совпадают, что соответствует «критическому» случаю.

2.4. Для качественного описания изменения сопротивления найдем возможные стационарные (установившиеся) значения сопротивления. Как было показано в предыдущем пункте, при \(p < 1/4\) имеются две стационарные точки, являющиеся корнями уравнения \[r^{2} - r + p = 0. \qquad (19)\] Эти корни при \(p = 0{,}20\): \[\bar r = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4p}}{2} \ \Rightarrow\ \bar r_1 = 0{,}72,\ \bar r_2 = 0{,}28. \qquad (20)\] Еще раз построим графики функций \(P_{(+)}\), \(P_{(-)}\) при \(p = 0{,}20\). Стрелками указано, как каждая мощность влияет на сопротивление. Этот рисунок подтверждает, что точка \(\bar r_1 = 0{,}72\) является устойчивой. Поэтому при начальном условии \(r_0 > \bar r_2 = 0{,}28\) сопротивление будет монотонно стремиться к значению \(\bar r_1 = 0{,}72\). При \(r_0 < \bar r_2 = 0{,}28\) сопротивление будет стремиться к нулю, т.е. терморезисторы в этом случае перегорят. Нужно также отметить, что при приближении к нулю скорость падения сопротивления резко возрастает, линии пересекают ось времени практически вертикально.

2.5. Максимальному значению напряжения соответствует максимальное значение параметра \(p\), которое, как следует из проведенного анализа, равно \(p_{\max} = \dfrac{1}{4}\). Тогда из определения этого параметра \(p_{\max} = \dfrac{\alpha U_{0\max}^{2}}{4\beta R_0} = \dfrac{1}{4}\), находим, что \[U_{0\max} = \sqrt{\frac{\beta R_0}{\alpha}}. \qquad (21)\]

2.6. При уменьшении напряжения в 2 раза параметр \(p\) уменьшается в 4 раза, т.е. оказывается равным \(p = \dfrac{1}{16}\) (или \(0{,}0625\)). Для определения установившегося значения сопротивления необходимо решить уравнение \[\frac{p}{r} = 1 - r \ \Rightarrow\ r^{2} - r + p = 0, \qquad (22)\] и выбрать его больший корень, так как он является устойчивым. В соответствии с правилами представления точных и приближенных чисел имеем: при \(U_0 = U_{0\max}/2\), \(p = \dfrac{1}{16}\) (точно), тогда \[r = \frac{1 + \sqrt{1 - 4p}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \approx 0{,}93. \qquad (23)\] при \(U_0 = 0{,}50\,U_{0\max}\), \(p = 0{,}0625\) и \[r = \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \approx 0{,}93. \qquad (24)\]

2.7. Зависимости сопротивлений терморезисторов от времени описываются полученной ранее системой уравнений (14). Фактически мы должны проанализировать возможные решения этих уравнений. Из полученного ранее уравнения (15) следует, что разность сопротивлений при любых их значениях стремится к нулю, поэтому все фазовые траектории стремятся к диагонали диаграммы \(r_1 = r_2\). Просуммируем уравнения (14), чтобы получить уравнение для суммы сопротивлений \[a\frac{\Delta(r_1 + r_2)}{\Delta\tau} = -\frac{4p}{(r_1 + r_2)} + \left(2 - (r_1 + r_2)\right).\] Ранее мы показали, что стационарные точки существуют только при \(p < \dfrac{1}{4}\) и нашли их значения (20). Нанесем их на фазовую диаграмму.

2.8. Как было показано ранее, точка с большим значением сопротивления является устойчивой, поэтому все фазовые траектории будут «уходить» в нее. Фазовая диаграмма при \(p = 0{,}20\) приведена на рисунке в Листах ответов (схематически).

2.9. При \(p = 0{,}3\) устойчивых точек нет, поэтому все фазовые траектории будут разбегаться.